[论文解读] Cofiniteness of weakly Laskerian local cohomology modules

Moharram Aghapournahrand, Kamal Bahmanpour+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2012

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文引入了有限生成模的扩张模类 FDₙ，並證明：對於局部上同調模 Hᵗᴵ(M) 的任意 FD₀（或極小化）子模 N，當較低階局部上同調模 H⁰ᴵ(M), ..., Hᵗ⁻¹ᴵ(M) 為 FD₁（或弱 Laskerian）時，模 Homᵣ(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) 和 Ext¹(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) 均為有限生成。由此推得 Hᵗᴵ(M)/N 的關聯素理想為有限多個，推廣了先前關於 cofiniteness 的結果，並擴展了局部上同調中 cofinite 模的理論。

ABSTRACT

Let I be an ideal of a Noetherian ring R and M be a finitely generated R-module. We introduce the class of extension modules of finitely generated modules by the class of all modules T with dimTn and we show it by FDn where n � 1 is an integer. We prove that for any FD�0(or minimax) submodule N of H t (M) the R-modules HomR(R/I,H t (M)/N) and Ext 1(R/I,H t I (M)/N) are finitely generated, whenever the modules H 0 I (M), H 1 (M), ..., H t 1 I (M) are FD�1 ( or weakly Laskerian). As a conse- quence, it follows that the associated primes of H t I (M)/N are finite. This generalizes the main results of Bahmanpour and Naghipour (4) and (5), Brodmann and Lashgari (7), Khashyarmanesh and Salarian (21) and Hong Quy (18). We also show that the cate- gory FD 1 (R,I)cof of I-cofinite FD�1 R-modules forms an Abelian subcategory of the category of all R-modules.

研究动机与目标

• 將局部上同調中關於 cofiniteness 的結果推廣至 FDₙ 類模。
• 研究在商環 R/I 上，Hom 與 Ext 模的有限生成性質。
• 建立 Hᵗᴵ(M)/N 之關聯素理想的有限性所須條件。
• 證明 I-cofinite FD₁ 模的類別構成一個阿貝爾子類。
• 推廣 Bahmanpour、Naghipour、Brodmann、Lashgari、Khashyarmanesh、Salarian 與 Hong Quy 的先前成果。

提出的方法

• 將 FDₙ 類定義為以維數 ≤ n 的模為擴張對象的有限生成模的擴張。
• 對 t 進行歸納，分析 Hᵗᴵ(M) 及其 FD₀ 子模 N 的結構。
• 在較低階上同調模為 FD₁ 條件下，應用 Homᵣ(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) 與 Ext¹(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) 的有限生成性質。
• 利用弱 Laskerian 模為 FD₁ 的事實，連結至已知的 cofiniteness 定理。
• 證明 I-cofinite FD₁ R-模的類別 FD₁(R,I)cof 對子模、商模與核封閉，因此為阿貝爾類。
• 運用基於維數的過濾與模的擴張技術，以控制局部上同調模的結構。

实验结果

研究问题

• RQ1 當 N 屬於 FD₀ 時，什麼條件可使模 Homᵣ(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) 為有限生成？
• RQ2 在較低階局部上同調模為 FD₁ 條件下，什麼條件可使 Ext¹(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) 模為有限生成？
• RQ3 FDₙ 類與局部上同調中 cofiniteness 的關係為何？
• RQ4 Hᵗᴵ(M)/N 之關聯素理想的有限性如何取決於較低階上同調模的結構？
• RQ5 I-cofinite FD₁ R-模的類別是否為所有 R-模類別中的阿貝爾子類？

主要发现

• 對於 Hᵗᴵ(M) 的任意 FD₀ 子模 N，當 H⁰ᴵ(M), ..., Hᵗ⁻¹ᴵ(M) 為 FD₁ 時，模 Homᵣ(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) 為有限生成。
• 在相同條件下，模 Ext¹(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) 為有限生成。
• 當較低階局部上同調模 H⁰ᴵ(M), ..., Hᵗ⁻¹ᴵ(M) 為 FD₁ 時，Hᵗᴵ(M)/N 的關聯素理想為有限多個。
• I-cofinite FD₁ R-模的類別 FD₁(R,I)cof 為所有 R-模類別中的阿貝爾子類。
• 本結果推廣了 Bahmanpour 與 Naghipour、Brodmann 與 Lashgari、Khashyarmanesh 與 Salarian，以及 Hong Quy 的先前 cofiniteness 定理。
• FDₙ 類為將 cofiniteness 結果推廣至極小化與弱 Laskerian 模之外提供了自然的框架。