[论文解读] Cofree coalgebras over operads and representative functions

Matthieu Anel|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文为在集合、拓扑空间或dg-向量空间等范畴中，关于彩色操作律 $P$ 的余自由余代数 $P^\vee(C)$ 提供了一种递归构造，并证明其为李斯态射余单子 $P^\wedge$ 的余反射。关键结果是当 $\mathcal{V} = \mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ 时，递归在第一步终止，将 $P^\vee(C)$ 识别为完备 $P$-代数 $P^\wedge(C)$ 中的代表函数子对象，从而简化了先前的构造方法。

ABSTRACT

We give a recursive formula to compute the cofree coalgebra P^\vee(C) over any colored operad P in Set, CGHaus or (dg)Vect. The construction is closed to that of Smith but different. We use a more conceptual approach to simplify the proofs that P^\vee is the cofree P-coalgebra functor and also the comonad generating P-coalgebras. In a second part, when P is a linear or dg-operad over a field, we generalize the notion of representative functions of Block & Leroux and prove that P^\vee(C) is simply the subobject of representative elements in the "completed P-algebra" P^\wedge(C). This says that our recursion (as well as that of Smith) stops at the first step.

研究动机与目标

• 为任意彩色操作律 $P$ 在对称单子范畴 $\mathcal{V}$（包括 $\mathsf{Set}$、$\mathsf{CGHaus}$ 和 $\mathsf{dg}\mathsf{Vect}$）上提供余自由 $P$-余代数函子 $P^\vee$ 的概念性递归构造。
• 证明 $P^\vee$ 是一个余单子，且其余代数恰好与 $P$-余代数一致，而无需依赖余单子定理。
• 将 Block-Leroux 的代表函数概念推广至 $\mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ 中的操作律，将 $P^\vee(C)$ 识别为完备 $P$-代数 $P^\wedge(C)$ 中代表元素的子对象。
• 证明在 $\mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ 中，$P^\vee$ 的递归构造在第一步终止，从而简化了 Smith 等人先前的方法。

提出的方法

• 通过递归塔 $Q_n(C)$ 构造 $P^\vee$，其中 $Q_1(C)$ 定义为纤维积 $P^\wedge(C) \times_{P^\wedge_2(C)} (P^\wedge)^2(C)$，构成一个单纯图的极限。
• 利用 $P^\wedge$ 的李斯态射余单子结构，其具有自然映射 $\alpha: P^\wedge_n P^\wedge_m \to P^\wedge_{n+m}$，并证明 $P^\vee$ 是 $P^\wedge$ 在余单子范畴中的余反射。
• 通过自然变换与单射定义 $Q_1(C)$ 上的余代数结构，利用涉及 $P^\wedge_n$ 的单纯结构的交换图验证余结合性与单位元性质。
• 在 $\mathcal{V} = \mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ 的情形下，推广代表函数的概念：$P^\vee(C)$ 中的元素是那些其对角映射 $\delta: x \mapsto \sum x_i' \otimes x_i''$ 因子化为有限个张量积的元素。
• 终止性证明基于如下事实：$Q_1(C)$ 本身已是 $P$-余代数，因此映射 $Q_1(C) \to P^\wedge Q_1(C)$ 可提升至 $Q_\infty Q_1(C)$，而单射 $Q_2(C) \to Q_1(C)$ 强制得出 $Q_1 = Q_2$。
• 该构造依赖于李斯态射余单子 $P^\wedge$ 在余单子范畴中的余反射的存在性，该存在性在 $\mathcal{V}$ 满足弱假设时成立，且在 $\mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ 中成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖余单子定理的前提下，给出余自由 $P$-余代数函子 $P^\vee$ 的递归且概念性的构造？
• RQ2 李斯态射余单子 $P^\wedge$（定义为 $P^\wedge(C) = \prod_n [P(n), C^{\otimes n}]$）是否在余单子范畴中具有余反射？若是，所得到的余单子为何？
• RQ3 在 $\mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ 上的操作律情形下，$P^\vee$ 的递归构造是否在第一步终止，意味着 $P^\vee(C)$ 仅为纤维积 $P^\wedge(C) \times_{P^\wedge_2(C)} (P^\wedge)^2(C)$？
• RQ4 能否将结合代数中代表函数的概念推广至操作律，使得 $P^\vee(C)$ 是 $P^\wedge(C)$ 中那些对角分解为有限和的元素构成的子对象？
• RQ5 通过该纤维积构造的 $P^\vee$ 是否与余自由 $P$-余代数一致？在 dg-向量空间情形下，是否等价于 Smith 的构造？

主要发现

• 余自由 $P$-余代数函子 $P^\vee$ 被构造为李斯态射余单子 $P^\wedge$ 的余反射，证明了无需借助余单子定理，$P^\vee$-余代数恰好是 $P$-余代数。
• 在 $\mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ 中，通过 $Q_n(C)$ 的递归构造在 $n=1$ 处稳定，即 $Q_1(C) = Q_\infty(C)$，意味着余自由余代数可在单步内获得。
• 在 $\mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ 中，$P^\vee(C)$ 被识别为 $P^\wedge(C)$ 中代表元素的子对象——即那些其对角映射 $\delta: x \mapsto \sum x_i' \otimes x_i''$ 因子化为有限个张量积的元素。
• 通过纤维积 $P^\wedge(C) \times_{P^\wedge_2(C)} (P^\wedge)^2(C)$ 构造 $P^\vee$ 与 Smith 的构造等价，但本文表明在 $\mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ 中该递归是不必要的。
• $Q_1(C)$ 上的余代数结构是自然的且满足余结合性，通过涉及 $P^\wedge_n$ 的单纯结构的交换图验证，余结合性可归约为单纯恒等式。
• 证明依赖于如下事实：$Q_1(C)$ 本身已是 $P$-余代数，因此映射 $Q_1(C) \to Q_\infty Q_1(C)$ 可因子化至 $Q_2(C)$，而由于 $Q_2(C) \to Q_1(C)$ 是单射，故 $Q_1 = Q_2$，意味着构造终止。