[论文解读] Cohen class of time-frequency representations and operators: boundedness and uncertainty principles

Paolo Boggiatto, Evanthia Carypis+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2018

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 32被引用 12

一句话总结

本文为Cohen类时频算子建立了Donoho-Stark型不确定性原理，推广了定位算子。证明了在$L^p$空间中的有界性，并推导出一个定量不确定性不等式，将时间-频率集合$T$和$\Omega$的测度与浓度参数$\varepsilon_T, \varepsilon_\Omega$以及Cohen核的傅里叶变换$G_1, G_2$联系起来，表明$|T|^{1/s_1}|\Omega|^{1/s_2}$的下界与$G_1$和$G_2$的范数成反比。该结果通过Cohen类框架将经典不确定性原理推广至广义伪微分算子类。

ABSTRACT

This paper presents a proof of an uncertainty principle of Donoho-Stark type involving $\\varepsilon$-concentration of localization operators. More general operators associated with time-frequency representations in the Cohen class are then considered. For these operators, which include all usual quantizations, we prove a boundedness result in the $L^p$ functional setting and a form of uncertainty principle analogous to that for localization operators.

研究动机与目标

• 将Donoho-Stark不确定性原理从定位算子推广至更广泛的时频算子类。
• 建立Wigner和Gabor变换及其在Cohen类中推广的$L^p$有界性结果。
• 为Cohen算子推导一个定量不确定性原理，将时间-频率局部化集合的测度与浓度参数及核的性质联系起来。
• 修正文献[5]中关于定位算子Donoho-Stark不确定性原理估计的缺陷。

提出的方法

• 作者通过对偶配对$(T_{\sigma}^a f, g) = (a, Q_\sigma(g,f))$定义Cohen算子$T_{\sigma}^a$，其中$Q_\sigma$是Cohen类时频表示。
• 他们利用Cohen算子的Weyl量化等价性，表明其为符号为$a * \overline{\widetilde{\sigma}}$的Weyl算子，从而可应用伪微分算子理论。
• 不确定性原理的证明依赖于对算子范数$\|T_{\sigma}^{\chi_\Omega} T_{\sigma}^{\chi_T}\|_{B(L^2)}$的估计，使用Hölder不等式和Young不等式。
• 关键组成部分包括函数$G_1(t) = \int \overline{\sigma}(-t, \omega) d\omega$和$G_2(\xi) = \int \overline{\sigma}(x, -\xi) dx$，它们编码了核的边缘行为。
• 推导过程中使用了$\varepsilon$-集中定义：$\|f - T_{\sigma}^{\chi_T}f\|_2 \leq \varepsilon_T \|f\|_2$，类似地定义$\Omega$的集中性，以控制复合算子的范数。
• 最终不等式通过结合范数估计与三角不等式，并假设$\|T_{\sigma}^{\chi_T}\|, \|T_{\sigma}^{\chi_\Omega}\| \leq 1$导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Donoho-Stark型不确定性原理从定位算子推广至完整的Cohen算子类？
• RQ2 Cohen算子的$L^p$算子范数如何依赖于Cohen核$\sigma$？
• RQ3 在时间-频率局部化集合$T$和$\Omega$的测度与核的边缘积分$G_1, G_2$之间，存在怎样的定量权衡？
• RQ4 Cohen算子在$L^p$空间中的有界性如何与核$\sigma$的性质相关？
• RQ5 文献[5]中关于定位算子不确定性原理的有缺陷估计能否被修正并推广？

主要发现

• 本文证明了Cohen算子的一个新不确定性原理：$|T|^{1/s_1}|\Omega|^{1/s_2} \geq (1 - \varepsilon_T - \varepsilon_\Omega) \cdot \left( A_{s_1} A_{s_2} A_{p_1} A_{p_2} A_{\frac{2r}{r+1}} A_{\frac{2r}{2r-1}}^2 \right)^{-d} \|G_1\|_{p_1}^{-1} \|G_2\|_{p_2}^{-1} $，其中$G_1, G_2$是核$\sigma$的边缘积分。
• 在$1 < q < \infty$，$1 \leq p \leq \infty$下，建立了Cohen算子的$L^p$有界性，其中$1/q + 1/q' = 1/r + 1/r' = 1$，改进了文献[9]和[29]中的现有估计。
• 该有界性结果可推广至一般Cohen算子，推广了已知的Weyl算子结果。
• 通过正确考虑复合算子$T_{\sigma}^{\chi_\Omega} T_{\sigma}^{\chi_T}$中的算子范数，修正了文献[5]中关于定位算子不确定性原理的缺陷估计，从而得到了集合测度乘积的更紧下界。
• 该不确定性原理在意义下是精确的，因为下界显式依赖于由核$\sigma$决定的$G_1$和$G_2$的$L^{p_j}$范数。
• 该结果通过将经典Donoho-Stark不确定性原理中的傅里叶变换对$(f, \hat{f})$替换为$(T_{\sigma}^{\chi_T}f, T_{\sigma}^{\chi_\Omega}f)$，其中算子由Cohen类定义，从而推广了经典结果。