[论文解读] Cohen-Lenstra distributions via random matrices over complete discrete valuation rings with finite residue fields

Gilyoung Cheong, Yifeng Huang|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文在数论中的Cohen-Lenstra分布与具有有限剩余域的完备离散赋值环上的随机矩阵理论之间建立了联系。通过使用Haar测度分析此类环上随机矩阵的余核，作者推广了Friedman和Washington的结果，并证明余核的极限分布与Cohen-Lenstra启发式一致，其概率与自同构群大小成反比。

ABSTRACT

Let $(R, \mathfrak{m})$ be a complete discrete valuation ring with the finite residue field $R/\mathfrak{m} = \mathbb{F}_{q}$. Given a monic polynomial $P(t) \in R[t]$ whose reduction modulo $\mathfrak{m}$ gives an irreducible polynomial $\bar{P}(t) \in \mathbb{F}_{q}[t]$, we initiate the investigation of the distribution of $\mathrm{coker}(P(A))$, where $A \in \mathrm{Mat}_{n}(R)$ is randomly chosen with respect to the Haar probability measure on the additive group $\mathrm{Mat}_{n}(R)$ of $n imes n$ $R$-matrices. One of our main results generalizes two results of Friedman and Washington. Our other results are related to the distribution of the $\bar{P}$-part of a random matrix $\bar{A} \in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F}_{q})$ with respect to the uniform distribution, and one of them generalizes a result of Fulman. We heuristically relate our results to a celebrated conjecture of Cohen and Lenstra, which predicts that given an odd prime $p$, any finite abelian $p$-group (i.e., $\mathbb{Z}_{p}$-module) $H$ occurs as the $p$-part of the class group of a random imaginary quadratic field extension of $\mathbb{Q}$ with a probability inversely proportional to $|\mathrm{Aut}_{\mathbb{Z}}(H)|$. We review three different heuristics for the conjecture of Cohen and Lenstra, and they are all related to special cases of our main conjecture, which we prove as our main theorems. For proofs, we use some concrete combinatorial connections between $\mathrm{Mat}_{n}(R)$ and $\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F}_{q})$ to translate our problems about a Haar-random matrix in $\mathrm{Mat}_{n}(R)$ into problems about a random matrix in $\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F}_{q})$ with respect to the uniform distribution.

研究动机与目标

• 将Friedman和Washington关于$\mathbb{Z}_p$上随机矩阵余核分布的结果推广到具有有限剩余域的更一般的完备离散赋值环。
• 将$\mathbb{F}_q$上随机矩阵的$\overline{P}$-部分分布与Cohen-Lenstra关于类群分布的猜想联系起来。
• 提供一种新的随机矩阵理论框架，通过$R[[t]]$上余核统计量，从启发式角度支持Cohen-Lenstra猜想。
• 建立当矩阵大小$n \to \infty$时余核分布的普遍极限行为，使其与Cohen-Lenstra概率一致。
• 澄清尽管两者均收敛至同一极限分布，$\mathbb{F}_q$与$\mathbb{F}_q[[t]]$上矩阵的余核分布之间存在差异的原因。

提出的方法

• 对具有有限剩余域$\mathbb{F}_q$的完备离散赋值环$R$，在$\mathrm{Mat}_n(R)$上使用Haar测度，定义$n \times n$矩阵上的概率分布。
• 利用投影$R \to \mathbb{F}_q$将$R$上矩阵的余核与$\mathbb{F}_q$上矩阵的余核联系起来，将Haar-随机问题转化为均匀-随机问题。
• 应用组合技巧计算$\mathrm{coker}(P(A))$同构于给定有限$R$-模的概率，特别关注$P(t)$模$\mathfrak{m}$不可约的情形。
• 使用生成函数与zeta函数$\hat{\boldsymbol{Z}}(\{P_j\}, \mathbf{x}, 1)$计算余核结构的极限概率。
• 证明当$A$在$\mathrm{Mat}_n(R)$中为Haar-随机时，$\mathrm{coker}(A)$的极限分布与Cohen-Lenstra测度一致，其概率为$\frac{1}{|\mathrm{Aut}(H)|} \prod_{i=1}^\infty (1 - p^{-i})$。
• 比较两种不同的余核概率：一种是通过$\mathrm{coker}(\overline{A} - tI_n)$在$\overline{A} \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F}_q)$上的概率，另一种是通过$A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F}_q[[t]])$的概率，表明两者均收敛至相同的Cohen-Lenstra极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$R$是具有有限剩余域的完备离散赋值环时，$A \in \mathrm{Mat}_n(R)$为Haar-随机时，$\mathrm{coker}(P(A))$的分布如何与Cohen-Lenstra猜想相关？
• RQ2 经典Friedman-Washington结果在$\mathbb{Z}_p$上的结论能否推广至任意具有有限剩余域的完备离散赋值环？
• RQ3 在$\mathbb{F}_q$上随机矩阵的$\overline{P}$-部分与Cohen-Lenstra对类群$p$-部分分布的猜想之间存在何种关系？
• RQ4 为何两种不同的随机矩阵模型——在$\mathbb{F}_q$上与在$\mathbb{F}_q[[t]]$上——尽管有限大小下的概率不同，却产生相同的极限余核分布？
• RQ5 自同构群大小与zeta函数如何在极限中编码给定余核结构的概率？

主要发现

• 当$R$是具有剩余域$\mathbb{F}_q$的完备离散赋值环时，$A$在$\mathrm{Mat}_n(R)$中为Haar-随机，$\mathrm{coker}(A)$的极限分布与Cohen-Lenstra测度一致：当$n \to \infty$时，$\mathrm{Prob}(\mathrm{coker}(A) \simeq H) = \frac{1}{|\mathrm{Aut}(H)|} \prod_{i=1}^\infty (1 - p^{-i})$。
• 当$P(t) \in R[t]$且其约化$\overline{P}(t) \in \mathbb{F}_q[t]$不可约时，$\mathrm{coker}(P(A)) \simeq H$的概率在$n \to \infty$时收敛至$\frac{1}{|\mathrm{Aut}(H)|} \prod_{i=1}^\infty (1 - q^{-i \deg(P)})$，这推广了Friedman和Washington的$p$-进结果。
• $\mathbb{F}_q$上均匀随机矩阵$\overline{A} \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F}_q)$的$\overline{P}$-部分分布收敛至$\mathbb{F}_q[t]$-模上的Cohen-Lenstra测度，与函数域类群的启发式一致。
• 作者证明，当$n \geq \dim_{\mathbb{F}_q}(H)$时，$\mathrm{coker}(\overline{A} - tI_n) \simeq H$的极限概率为$\frac{1}{|\mathrm{Aut}_{\mathbb{F}_q[t]}(H)|} \prod_{i=1}^n (1 - q^{-i})$，否则为零。
• 尽管有限大小下的概率不同，$\mathbb{F}_q$-矩阵模型与$\mathbb{F}_q[[t]]$-矩阵模型均产生相同的极限余核分布，展示了某种普遍性。
• zeta函数$\hat{\boldsymbol{Z}}(\{P_j\}, \mathbf{x}, 1)$编码了余核中指定$P_j$-部分的极限概率，其乘积形式证实了在极限中不同素数处部分的独立性。