[论文解读] Cohen-Macaulay Du Bois singularities with a torus action of complexity one

Antonio Laface, Alvaro Liendo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用 1

一句话总结

本论文利用多面体除子，通过上同调准则刻画了复杂度为一的法向T-代数簇上的Cohen-Macaulay与Du Bois奇点。研究结果表明，此类奇点由对偶格点上格点对应的除子类的下取整的次数条件所刻画，并构造了一个具有Cohen-Macaulay Du Bois奇点但无有理奇点的显式例子。

ABSTRACT

Using Altmann-Hausen-Suss description of $\mathbb{T}$-varieties via divisorial fans and Kóvacs-Schwede-Smith characterization of Du Bois singularities, we study Cohen-Macaulay Du Bois $\mathbb{T}$-singularities of complexity one. We exhibit cohomological criteria for a $\mathbb{T}$-variety to be Cohen-Macaulay and Du Bois in terms of polyhedral divisors. We give an example of a Cohen-Macaulay Du Bois singularity of complexity one which does not have rational singularities.

研究动机与目标

• 通过组合数据刻画复杂度为一的T-代数簇上的Cohen-Macaulay与Du Bois奇点。
• 将已知的有理奇点与对数可极小奇点的准则推广至Cohen-Macaulay Du Bois奇点的情形。
• 以多面体除子为工具，提供明确的上同调条件，以判断T-代数簇是否为Cohen-Macaulay且为Du Bois。
• 构造一个复杂度为一的Cohen-Macaulay Du Bois奇点的显式例子，该奇点不具有有理奇点。
• 将复杂度为一的有理情形结果推广至更高复杂度，借助除子扇与典范层的计算。

提出的方法

• 利用Altmann-Hausen-Süß对T-代数簇的描述，通过射影代数簇上的多面体除子与除子扇。
• 应用Kollár–Kovács–Schwede–Smith对Du Bois奇点的刻画，即通过对偶复形的上同调。
• 在复杂度为一的有理T-代数簇背景下，应用Kempf对有理奇点的准则。
• 通过基底代数簇上的除子数据与典范除子，计算仿射T-代数簇上典范层的分次部分。
• 引入排斥锥扇中“大”射线的概念，以分类在环作用下截面的行为。
• 利用分辨率上对偶层的截面与原始代数簇之间的同构关系，推导出上同调条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 多面体除子的哪些上同调条件可确保复杂度为一的T-代数簇为Cohen-Macaulay且为Du Bois？
• RQ2 复杂度为一的T-代数簇是否可能为Cohen-Macaulay且为Du Bois，但不具有有理奇点？
• RQ3 除子类D(u)的下取整的次数与关联T-代数簇的奇点之间有何关系？
• RQ4 排斥锥中“大”与“非大”射线在决定典范层的上同调行为中起什么作用？
• RQ5 如何用基底代数簇与多面体除子来描述T-代数簇的典范层？

主要发现

• 在P1上由p-除子D定义的复杂度为一的有理T-代数簇X(D)是Cohen-Macaulay且为Du Bois，当且仅当对所有满足与射线配对符号条件的格点u，有deg⌊D(u)⌋ ≥ −1。
• 本文构造了一个显式例子，其中对某些u有deg⌊D(u)⌋ = −2，表明X(D)不是有理的，但却是Cohen-Macaulay且为Du Bois。
• 该例子中的X(D)具有Du Bois奇点，因为对所有相关u均有deg⌊D(u)⌋ ≥ −1，满足定理2中的准则。
• T-代数簇X(D)的典范层与从其分辨率上拉回的典范层同构，从而可推导出上同调准则。
• 有理奇点的条件要求对某些u有deg⌈D(u)⌉ ≤ 1，该条件在例子中不成立，从而确认了有理奇点的缺失。
• 定理1与定理2中的准则在限制到复杂度为一的情形时，与定理4.2与4.3中的通用准则等价。