[论文解读] Cohen-Macaulay Property of pinched Veronese Rings

Ornella Greco, Ivan Martino|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2017

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文利用方阵自由除数复形的约化同调，刻画了夹紧 Veronese 环的 Cohen-Macaulay 性质与线性性质。证明了 $P_{n,d,\mathbf{m}}$ 是 Cohen-Macaulay 当且仅当 $operatorname{max}\mathbf{m} = d$ 或 ($operatorname{max}\mathbf{m} = d-1$ 且 $n=2$)，并完整描述了两变量情形下的 Betti 表，表明 $P_{2,d,\mathbf{m}}$ 在 $i > 1$ 时为 $(i-2)$-线性，且给出了 Betti 数的显式公式。

ABSTRACT

In this work, we study the Betti numbers of pinched Veronese rings, by means of the reduced homology of squarefree divisor complexes. We characterize when these rings are Cohen-Macaulay and we the study the shape of the Betti tables for the pinched Veronese in the two variables. As a byproduct we obtain information on the linearity of such rings. Moreover, in the last section we compute the canonical modules of the Veronese modules.

研究动机与目标

• 确定夹紧 Veronese 环 $P_{n,d,\mathbf{m}}$ 何时为 Cohen-Macaulay。
• 刻画两变量夹紧 Veronese 环的 Betti 表形状。
• 计算 Veronese 模 $S_{n,d,k}$ 的典范模，推广已知结果。
• 理解夹紧 Veronese 环中分解的线性性质，与标准 Veronese 环的线性分解形成对比。

提出的方法

• 利用方阵自由除数复形的约化同调计算 $P_{n,d,\mathbf{m}}$ 的 Betti 数。
• 应用 Bruns-Herzog 公式，将 Betti 数与单纯复形的同调联系起来。
• 推导出依赖于 $operatorname{max}\mathbf{m}$ 的 Hilbert 级数 $P_{n,d,\mathbf{m}}(z)$ 的闭式表达。
• 采用 Eagon-Northcott 型论证及 Gorenstein 环中的对偶性计算典范模。
• 通过研究特定次数中同调类的消失性，分析分解的 $p$-线性性质。
• 利用关于单项式次数与单纯复形结构的组合论证，确定 Betti 数的支集。

实验结果

研究问题

• RQ1 夹紧 Veronese 环 $P_{n,d,\mathbf{m}}$ 何时为 Cohen-Macaulay？
• RQ2 在两变量情形下，$P_{2,d,\mathbf{m}}$ 的 Betti 表具有何种精确形状？
• RQ3 在什么条件下，$P_{2,d,\mathbf{m}}$ 的分解对 $p < d-1$ 是 $p$-线性的？
• RQ4 当 $k < d$ 时，Veronese 模 $S_{n,d,k}$ 的典范模是什么？
• RQ5 选择 $\mathbf{m}$ 如何影响 Betti 数与分解的线性性质？

主要发现

• 夹紧 Veronese 环 $P_{n,d,\mathbf{m}}$ 是 Cohen-Macaulay 当且仅当 $operatorname{max}\mathbf{m} = d$ 或 ($operatorname{max}\mathbf{m} = d-1$ 且 $n = 2$)。
• 当 $n=2$ 时，若 $mathbf{m} = (i,d-i)$ 且 $i > 1$，则环 $P_{2,d,\mathbf{m}}$ 为 $p$-线性，其中 $p = i-2$，且当 $i=0$ 时 $P_{2,d,\mathbf{m}}$ 为线性。
• 当 $operatorname{max}\mathbf{m} < d-1$ 时，Betti 数 $beta_{j,(j+1)d}$（$1 \leq j \leq i-1$）由 $beta_{j,(j+1)d} = (d-1)\binom{d-2}{j} - \binom{d}{j} - \binom{d-2}{j+1}$ 给出。
• 当 $operatorname{max}\mathbf{m} < d-1$ 时，Betti 数 $beta_{d-3,(d-1)d} = \binom{d}{2} - 1$ 且 $beta_{d-2,d^2} = \binom{d}{3} - \binom{d}{2} + 1$。
• Veronese 模 $S_{n,d,k}$ 的典范模为 $S_{n,d,t}$，其中 $t \equiv -n-k \pmod{d}$ 且 $0 \leq t < d$，推广了先前结果。
• Veronese 模 $S_{n,d,k}$ 的 Betti 表是 $S_{n,d,d-n-k}$ 的 Betti 表的反转，通过典范模确认了对偶性。