[论文解读] Coherence and Entanglement Monogamy in the Discrete Analogue of Analog Grover Search

Namit Anand, Arun Kumar Pati|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 25

一句话总结

本文研究了离散类比Grover搜索算法中的量子相干性和纠缠单体性，表明随着算法达到最大成功概率，相干性减弱，而两两纠缠（concurrence）与成功概率同步达到峰值。该系统满足多体纠缠的n方单体不等式，证实了在搜索过程中量子关联在量子比特之间非冗余地共享。

ABSTRACT

Grover's search algorithm is the optimal quantum algorithm that can search an unstructured database quadratically faster than any known classical algorithm. The role of entanglement and correlations in the search algorithm have been studied in great detail and it is known that entanglement between the qubits is necessary to gain a quadratic speedup, for pure state implementation of the Grover search algorithm. Here, we systematically investigate the behavior of quantum coherence and monogamy of entanglement in the discrete analogue of the $ extit{analog analogue of Grover search algorithm}$. The analog analogue of Grover search is a continuous time quantum algorithm based on the adiabatic Hamiltonian evolution that gives a quadratic speedup, similar to the original Grover search algorithm. We show that the decrease of quantum coherence, quantified using various coherence monotones, is a clear signature of attaining the maximum success probability in the analog Grover search. We also show that for any two qubit reduced density matrix of the system, the concurrence evolves in close vicinity to the increasing rate of success probability. Furthermore, we show that the system satisfies a $n$-party monogamy inequality for arbitrary times, hence bounding the amount of $n$-qubit entanglement during the quantum search.

研究动机与目标

• 理解量子相干性和纠缠单体性在类比Grover搜索算法的离散类比中的作用。
• 确定相干性和纠缠动力学是否与搜索过程的成功概率相关。
• 研究在算法演化过程中，系统是否满足多体纠缠的单体不等式。
• 量化在实现二次加速的系统中，相干性和纠缠如何随时间演化。
• 确立离散类比是否保留了原始类比Grover搜索的关键特征，特别是相干性和纠缠行为方面。

提出的方法

• 使用两种单调量量化量子相干性：$l_1$-范数和相干性相对熵。
• 追踪离散类比类比Grover搜索哈密顿量中相干性和纠缠（通过concurrence）的演化。
• 推导出两比特concurrence的解析表达式：$\mathcal{C}(\rho_{AB}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \left| \sin{\left( \frac{2Et}{\sqrt{N}} \right)} \right|$，表明存在时间依赖的两两纠缠。
• 定义单体性评分 $\delta\mathcal{C} = \mathcal{C}(\rho_{A|BC...}) - (n-1)\mathcal{C}(\rho_{AB})$，表明系统满足$n$方单体不等式。
• 对$N=4$和$N=32$进行了数值模拟，比较了concurrence和成功概率的时间演化。
• 验证了在算法所有时间点，concurrence和平方纠缠形成都满足单体不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在类比Grover搜索的离散类比中，量子相干性如何演化，其是否与算法的成功概率相关？
• RQ2 两两纠缠（通过concurrence测量）是否对类比Grover搜索中的二次加速是必要的，且是否在成功概率最大时达到峰值？
• RQ3 系统是否表现出纠缠单体性，且在算法演化过程中所有时间点是否都满足单体不等式？
• RQ4 离散类比在多大程度上保留了原始类比Grover搜索的相干性和纠缠动力学？
• RQ5 单体性评分$\delta\mathcal{C}$能否被解析推导并证明其始终非负，从而确认纠缠在多个量子比特对之间不可共享？

主要发现

• $l_1$-范数和相干性相对熵随算法演化单调递减，表明最大相干性在系统趋近目标态时被消耗。
• 相干性减少速率与成功概率增加速率高度一致，表明相干性是算法性能的关键资源。
• 任意两量子比特之间的concurrence演化为$\mathcal{C}(\rho_{AB}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \left| \sin{\left( \frac{2Et}{\sqrt{N}} \right)} \right|$，与成功概率速率同步达到峰值。
• 单体性评分$\delta\mathcal{C} = \left( \frac{N-2}{2N} - \frac{1}{N}\log_2{\frac{N}{2}} \right) \sin^2{\left( \frac{2Et}{\sqrt{N}} \right)}$在所有时间点均保持非负，证实系统满足$n$方单体不等式。
• 平方纠缠形成也满足单体不等式，进一步证实纠缠在量子比特之间非冗余地共享。
• 对于大$N$，两两concurrence趋于零，表明在渐近极限下，纠缠分布在许多量子比特对之间，但依然保持单体性。