[论文解读] Coherence and RIP Analysis for Greedy Algorithms in Compressive Sensing.

Mingrui Yang, Frank de Hoog|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2013

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新的字典相干性度量——2-相干性（2-coherence），强化了互相关性与限制等距常数（RIC）之间的联系，从而改进了压缩感知中贪婪算法的恢复保证。该文建立了正交匹配追踪（OMP）的更紧致的RIC边界，并提出OMPT——一种增强阈值处理的OMP变体，证明其在相同条件下可实现与OMP相同的恢复性能，提升了实际可行性。

ABSTRACT

In this paper we define a new coherence index, named 2-coherence, of a given dictionary and study its relationship with the traditional mutual coherence and the restricted isometry constant. By exploring this relationship, we obtain more general results on sparse signal reconstruction using greedy algorithms in the compressive sensing (CS) framework. In particular, we obtain an improved bound over the best known results on the restricted isometry constant for successful recovery of sparse signals using orthogonal matching pursuit (OMP). We also initialized a study of a thresholding type greedy algorithm named orthogonal matching pursuit with thresholding (OMPT), which is more feasible in practice than OMP. We analyze its performance in CS framework for both noiseless and noisy cases in terms of coherence indices and the restricted isometry constant. We show that given the same assumptions as required for OMP, it achieves exactly the same reconstruction performance as OMP. Index Terms Compressive sensing, mutual coherence, 2-coherence, restricted isometry property, orthogonal matching pursuit (OMP), orthogonal matching pursuit with thresholding (OMPT). I.

研究动机与目标

• 定义并分析一种新的相干性度量——2-相干性，以加强压缩感知中相干性与受限等距性质之间的理论联系。
• 通过利用2-相干性推导出更紧致的受限等距常数（RIC）条件，改进正交匹配追踪（OMP）的现有恢复边界。
• 提出并分析OMP的一种实用变体——带阈值的正交匹配追踪（OMPT），以提升在实际应用中的可行性。
• 证明OMPT在相同假设条件下可实现与OMP相同的理论恢复性能，从而验证其实际应用价值。

提出的方法

• 提出2-相干性作为字典相干性的新度量，基于原子之间的成对相关性定义，扩展了互相关性的概念。
• 分析2-相干性、互相关性与受限等距常数（RIC）之间的关系，推导出连接这些量的理论边界。
• 将推导出的相干性-RIC关系应用于改进OMP成功恢复稀疏信号的RIC阈值，获得比先前结果更紧致的边界。
• 提出OMPT作为一种贪婪算法，通过引入阈值处理选择原子，降低计算成本，同时保持理论恢复保证。
• 基于相干性与RIC的分析，证明OMPT在相同条件下可实现与OMP相同的恢复性能。
• 在无噪声与有噪声的压缩感知设置下进行理论分析，利用相干性指标与RIC评估OMPT的性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 新定义的2-相干性与传统的互相关性及受限等距常数（RIC）之间有何关系？
• RQ2 2-相干性与RIC之间的关系能否带来OMP在稀疏信号重构中更优的恢复边界？
• RQ3 所提出的OMPT算法是否在保持与OMP相同理论恢复性能的同时，提升了实际可行性？
• RQ4 在无噪声与有噪声的压缩感知场景下，OMPT的相干性与RIC相关性能保证分别是什么？

主要发现

• 本文推导出的OMP成功恢复稀疏信号的受限等距常数（RIC）边界，比以往结果更紧致，从而提升了理论恢复保证。
• 2-相干性被正式定义，并证明其相较于仅使用互相关性，能更精细地刻画字典结构。
• 2-相干性、互相关性与RIC之间的关系被理论建立，从而在压缩感知中实现了更强的理论关联。
• OMPT被提出作为OMP的一种实用变体，引入了阈值处理，降低了计算开销，同时不损失性能。
• 在与OMP相同的假设条件下，OMPT实现了相同的恢复性能，验证了其与OMP的理论等价性。
• 理论分析证实，OMPT在无噪声与有噪声的压缩感知设置下均能保持稳定恢复，且基于相干性与RIC的指标均成立。