[论文解读] Coherence for braided and symmetric pseudomonoids

Dominic Verdon|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文通过构建这些结构的计算范畴与组合2-范畴之间的双等价，建立了弱张量2-双范畴中辫子与对称伪幺半群的连贯性定理。该研究将麦克莱恩的经典连贯性结果推广至高阶范畴设定，表明除在对称张量2-双范畴中的辫子伪幺半群情形外，所有图均满足交换性；此时2-胞状对应于纯辫群元素。

ABSTRACT

Presentations for unbraided, braided and symmetric pseudomonoids are defined. Biequivalences characterising the semistrict bicategories generated by these presentations are proven. It is shown that these biequivalences categorify results in the theory of monoids and commutative monoids, and generalise standard coherence theorems for braided and symmetric monoidal categories.

研究动机与目标

• 将辫子与对称张量范畴的经典连贯性定理推广至弱张量2-双范畴中的伪幺半群设定。
• 在严格化张量2-双范畴中，为无辫、辫子与对称伪幺半群定义计算范畴。
• 证明由这些计算范畴生成的张量2-双范畴与更简单的组合2-范畴之间的双等价性。
• 表明这些双等价性范畴化了单幺半群理论中的已知结果，并将标准连贯性定理推广至高阶代数结构。
• 解决先前结果（如Lack的结果）不适用时辫子与对称伪幺半群的连贯性问题。

提出的方法

• 使用生成元与关系，在严格化张量2-双范畴中定义裸、辫子与对称伪幺半群的计算范畴。
• 构造与单幺半群理论的PROs、PROBs与PROPs同构的组合2-范畴，其对象为自然数，态射为单调函数或群作用。
• 证明由计算范畴生成的张量2-双范畴与组合2-范畴之间的双等价性。
• 使用Globular中的图示推理与重写规则推导等式，包括涉及单位元、结合子、辫子与交换子的等式。
• 应用迭代重写过程，从环路中系统性地消除单位元的创建与销毁算子，固定树状乘法结构。
• 通过引入对应于纯辫群元素的2-胞状，处理对称张量2-双范畴中辫子伪幺半群的例外情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将辫子与对称张量范畴的经典连贯性定理推广至弱张量2-双范畴中的伪幺半群？
• RQ2 哪些组合2-范畴与由辫子与对称伪幺半群计算范畴生成的张量2-双范畴双等价？
• RQ3 在何种情况下所有图均交换，而何时会出现非平凡2-胞状（如来自辫群的）？
• RQ4 如何利用Globular中的图示重写来证明高阶代数结构的连贯性结果？
• RQ5 单位元与结合子在伪幺半群连贯性中的作用是什么？如何系统性地消除它们？

主要发现

• 在任意弱张量2-双范畴中的裸与对称伪幺半群，其连贯2-范畴是局部离散的，意味着所有图均交换。
• 在对称张量2-双范畴中的辫子伪幺半群，其连贯2-范畴 ${\bf FS}^{\text{br}}$ 拥有对应于纯辫群乘积的非平凡2-胞状。
• 计算范畴生成的张量2-双范畴与组合2-范畴之间的双等价性，当限制于双范畴 Cat 时，蕴含麦克莱恩的经典连贯性定理。
• 所有单位元的创建与销毁算子均可通过图示重写系统性地从环路中消除，证明所有此类环路均等价于恒等2-胞状。
• 该证明依赖于Globular中一系列5-与6-胞状推导，关键引理涉及结合子、单位元与交换子，均可由三角恒等式导出。
• 唯一非平凡2-胞状出现在对称张量2-双范畴中的辫子情形，此时2-胞状由纯辫群控制，反映出非平凡的辫子结构。