[论文解读] Coherence measures and optimal conversion for coherent states

Shuanping Du, Zhaofang Bai+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2015

Quantum Information and Cryptography参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文提出一个通用框架，用于构建无穷多类量子态的相干性度量，统一了纯态下的相对熵、$l_1$-范数和$α$-熵等关键度量。推导出通过无相干操作将一个纯相干态转换为另一个纯相干态的最优成功概率，给出了闭式表达式，并提出了实现该最大概率的显式协议。

ABSTRACT

We discuss a general strategy to construct coherence measures. One can build an important class of coherence measures which cover the relative entropy measure for pure states, the $l_1$-norm measure for pure states and the $α$-entropy measure. The optimal conversion of coherent states under incoherent operations is presented which sheds some light on the coherence of a single copy of a pure state.

研究动机与目标

• 提出一种系统化方法，用于生成广义现有度量（如相对熵和$l_1$-范数）的相干性度量类，适用于纯态。
• 解决使用无相干操作将一个纯相干态转换为另一个纯相干态时可实现的最大概率这一基本问题。
• 提供一种显式协议，实现该最优转换概率，从而解决先前研究中关于最优性的问题。
• 通过凸包扩展将相干性量化从纯态推广至混合态，确保与公理化要求的一致性。
• 建立多个副本状态可实现比单个副本更高相干性提取的条件，揭示非加性行为。

提出的方法

• 通过在纯态的概率向量上应用函数$f$，提出相干性度量的一般构造方法，确保在无相干操作下保持单调性与凸性。
• 通过将函数$f$作用于有序概率振幅，定义相干性单调量，要求$f$在$[0,1]$上为凹函数且单调递增。
• 通过递归过程比较目标态与源态的累积概率分布，推导出最优转换概率$P(|ψ\rangle \to |φ\rangle)$。
• 引入一个由累积概率比值构造的归一化态$|γ\rangle$，确保主要化关系成立，并可通过无相干操作实现确定性变换。
• 通过在子空间中与单位算符成比例的分块对角算符$M_j$构造显式无相干操作，实现$M|γ\rangle = \sqrt{r_1}|φ\rangle$。
• 应用[BDG]中的主要化准则，保证存在一个无相干操作将$|ψ\rangle$映射至$|γ\rangle$，并利用基于保真度的概率公式计算最大成功概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用无相干操作将一个纯相干态$|ψ\rangle$成功转换为另一个纯相干态$|φ\rangle$的最大概率是多少？
• RQ2 能否构建一个通用框架，用于生成满足公理条件（在无相干态处取值为零、单调性、凸性）的所有可能纯态相干性度量？
• RQ3 在何种条件下，单副本转换概率等于多副本的最大值？何时多个副本可实现比单个副本更高的相干性提取？
• RQ4 如何显式构造最优无相干操作，以实现最大转换概率？
• RQ5 所提出的相干性度量框架是否包含已知度量，如相对熵、$l_1$-范数和$α$-熵（适用于纯态）？

主要发现

• 本文通过将一个在有序概率向量上为凹且单调递增的函数$f$作用于纯态，构造出无穷多个相干性度量，该类度量包含了相对熵、$l_1$-范数和$α$-熵作为特例。
• 最优转换概率$P(|ψ\rangle \to |φ\rangle)$由所有相关区间的累积概率之比的最小值给出，具体为$r_1 = \min_{l \in [1,l_1-1]} \frac{\sum_{i=l}^{l_1-1} |\psi_i|^2}{\sum_{i=l}^{l_1-1} |\phi_i|^2}$，并递归重复此过程直至覆盖整个态。
• 通过使用分块对角算符$M_j$构造显式无相干操作，将导出态$|γ\rangle$的分量缩放至$M|γ\rangle = \sqrt{r_1}|φ\rangle$，从而证明了实现最大概率的协议存在。
• 单次转换的最大转换概率被限定为$P(|ψ\rangle \to |φ\rangle) = r_1$，且该值可通过所构造的协议实现。
• 当$n_{|ψ\rangle} < n_{|φ\rangle}^2$时，对于$N \geq 2$，将$|ψ\rangle$转换为$|φ\rangle^{⊗ N}$的最大概率为零，这意味着在这些情况下$m_{|ψ\rangle \to |φ\rangle}^{\text{max}} = P(|ψ\rangle \to |φ\rangle)$。
• 非加性行为得到验证：对于$|ψ\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |2\rangle)$和$|φ\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(|1\rangle + |2\rangle + |3\rangle)$，有$P(|ψ\rangle^{⊗ 2} \to |φ\rangle) = 1 > P(|ψ\rangle \to |φ\rangle) = 0$，表明两份副本可提取的相干性超过单份副本的两倍。