[论文解读] Coherence via Well-Foundedness: Taming Set-Quotients in Homotopy Type Theory

Nicolai Kraus, Jakob von Raumer|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于局部收敛且良基关系的图中环路的新归纳原理，使同伦类型论中集合商的连贯性证明成为可能。该研究证明，环路的连贯性可归约为验证基例和局部收敛性，从而实现从集合商到1-类型函数的构造，并证明自由高阶群的第二个同伦群是平凡的。

ABSTRACT

Suppose we are given a graph and want to show a property for all its cycles (closed chains). Induction on the length of cycles does not work since sub-chains of a cycle are not necessarily closed. This paper derives a principle reminiscent of induction for cycles for the case that the graph is given as the symmetric closure of a locally confluent and (co-)well-founded relation. We show that, assuming the property in question is sufficiently nice, it is enough to prove it for the empty cycle and for cycles given by local confluence. Our motivation and application is in the field of homotopy type theory, which allows us to work with the higher-dimensional structures that appear in homotopy theory and in higher category theory, making coherence a central issue. This is in particular true for quotienting - a natural operation which gives a new type for any binary relation on a type and, in order to be well-behaved, cuts off higher structure (set-truncates). The latter makes it hard to characterise the type of maps from a quotient into a higher type, and several open problems stem from this difficulty. We prove our theorem on cycles in a type-theoretic setting and use it to show coherence conditions necessary to eliminate from set-quotients into 1-types, deriving approximations to open problems on free groups and pushouts. We have formalised the main result in the proof assistant Lean.

研究动机与目标

• 解决在将集合商映射到高阶类型时同伦类型论中的连贯性问题。
• 克服环路（闭合之字形路径）无法从非闭合之字形路径归纳生成的挑战。
• 为良基且局部收敛关系定义的环路开发一种可使用的归纳原理。
• 将该原理应用于证明：在集合上生成的自由高阶群的第二个同伦群是平凡的。
• 在Lean证明助手中形式化主要结果，以确保正确性。

提出的方法

• 基于良基性和局部收敛性，引入一种诺特环路归纳原理。
• 定义从非截断商（等化子）到自由高阶群的典范映射。
• 使用定理13中的连贯性条件：环路在目标1-类型中映射为平凡环路。
• 将归纳原理应用于证明：在1-类型的跨度的并图中，所有环路均变为平凡。
• 利用集合上的列表本身也是集合的事实，从而可使用更简单的截断定理。
• 在Lean中形式化核心结果，确保其正确性和在证明助手中的可用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为由良基且局部收敛关系定义的图中环路构造一种可使用的归纳原理？
• RQ2 在不假设可判定等式的前提下，能否证明：在集合上生成的自由高阶群中，所有环路均变为平凡？
• RQ3 我们能否推导出从集合商到1-类型的函数的一般连贯性条件？
• RQ4 诺特环路归纳原理是否能让我们绕过同伦类型论中显式逆构造的需求？
• RQ5 该方法能否扩展至证明π₂以外的更高阶同伦群的平凡性？

主要发现

• 本文证明了∥Ω²(B +ₐ C, i(x))∥₁是一个集合，这意味着当B、C为1-类型且A为集合时，π₂(B +ₐ C) = 0。
• 在集合上生成的自由高阶群的第二个同伦群是平凡的，证实了同伦类型论中长期存在的开放问题。
• 定理13中的连贯性条件足以在环路被平凡化时，构造从集合商到1-类型的函数。
• 主要结果已在Lean中形式化，确保其正确性并适用于证明助手。
• 该方法适用于并图和自由群，表明连贯性可归约为检查局部收敛性和基例。
• 定理50中的条件被证明为最一般情形，因为若放松这些条件将导致反例。