[论文解读] Coherent Sheaves on Ribbons and their Moduli

Michele Savarese|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文通过完整类型不变量，建立了纤维上拟局部自由层存在性与半稳定性的充要条件——纤维是光滑曲面中光滑曲线的一阶无穷小邻域的非约曲线。本文计算了此类层的模空间维数，并推测了Simpson模空间的不可约分支完整结构，将广义线丛与向量丛的已知结果推广至纤维上的高秩层。

ABSTRACT

A ribbon is a non-reduced curve modelled on the first infinitesimal neighbourhood of a smooth curve in a surface. This paper is devoted to describe some properties of coherent sheaves on such a curve and their Simpson moduli space. In particular we give necessary and sufficent conditions for the existence of semistable quasi locally free sheaves (in the sense of Drézet) of a fixed complete type and we compute the dimension of the Zariski closure in the moduli space of the locus of semistable quasi locally free sheaves of a fixed complete type. We also show when vector bundles on the reduced subcurve deform to sheaves supported on the ribbon. We find a special kind of non quasi locally free sheaves which, as generalized line bundles, are direct images of quasi locally free sheaves on an appropriate blow up of the ribbon. Finally, we give a conjectural description of the irreducible components of the Simpson moduli space, explaining precisely which parts have already been proved and what lacks for the complete result.

研究动机与目标

• 通过完整类型不变量表征纤维上拟局部自由层的存在性与半稳定性。
• 计算固定完整类型的半稳定拟局部自由层的扎里斯基闭包的维数。
• 确定在何种条件下，约化曲线上的向量丛可形变为支持在纤维上的层。
• 引入并研究一类特殊的非拟局部自由层，作为在爆破下拉的直接像，推广广义线丛。
• 基于已知的稳定性与维数结果，推测Simpson模空间中相干层在纤维上的不可约分支完整结构。

提出的方法

• 使用完整类型 $((r_0, r_1), (d_0, d_1))$ 对拟局部自由层进行分类，其中 $r_0, r_1$ 为在约化曲线与幂零部分上的秩，$d_0, d_1$ 为相应度数。
• 应用Drézet关于原始多重曲线层半稳定性的理论，特别适用于纤维。
• 通过在除子上爆破纤维，将非拟局部自由层提升为爆破上拟局部自由层，从而实现稳定性分析。
• 利用约化曲线的亏格 $\bar{g}$ 与法丛 $\mathscr{N}$ 的度数，推导维数公式，关键公式为：$1 + (r_0^2 + r_1^2)(\bar{g}-1) - r_0 r_1 \deg(\mathscr{N})$。
• 应用形变理论，确定约化曲线 $X_{\mathrm{red}}$ 上的向量丛在何种条件下可提升为 $X$ 上的层。
• 基于完整类型与广义向量丛指标，提出Simpson模空间不可约分支结构的猜想分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在纤维上，对于固定完整类型的半稳定拟局部自由层，其存在性的必要与充分条件是什么？
• RQ2 固定完整类型的半稳定拟局部自由层的扎里斯基闭包的维数是多少？
• RQ3 在何种条件下，约化曲线 $X_{\mathrm{red}}$ 上的向量丛可形变为支持在纤维 $X$ 上的层？
• RQ4 如何将非拟局部自由层描述为纤维爆破上拟局部自由层的直接像？
• RQ5 Simpson模空间中半稳定相干层在纤维上的不可约分支是什么？其与广义秩和度数的关系如何？

主要发现

• 当 $\bar{g} \geq 2$ 时，纤维 $X$ 上存在完整类型为 $((r_0, r_1), (d_0, d_1))$ 且 $r_0 > r_1 > 0$ 的半稳定拟局部自由层，当且仅当 $\frac{d_0 + (r_0 + r_1)\deg(\mathscr{N})}{r_0} \leq \frac{d_1}{r_1} \leq \frac{d_0}{r_0}$，且稳定性要求严格不等式成立。
• 当 $\deg(\mathscr{N}) < 0$ 且 $\bar{g} \geq 2$ 时，固定完整类型的半稳定拟局部自由层的模空间维数为 $1 + (r_0^2 + r_1^2)(\bar{g} - 1) - r_0 r_1 \deg(\mathscr{N})$。
• 若 $X$ 上的纯层 $\mathscr{F}$ 在一般点同构于 $\mathscr{O}_X \oplus \mathscr{O}_{X_{\mathrm{red}}}^{\oplus n}$，则其必为在约化曲线 $X_{\mathrm{red}}$ 上某除子 $D \subset X_{\mathrm{red}}$ 处爆破 $X' \to X$ 上唯一拟局部自由层的直接像。
• 广义秩 $R$ 与度数 $D$ 的稳定层模空间的猜想是：其不可约分支对应于固定完整类型的稳定拟局部自由层与固定指标 $b < r\delta$ 的稳定广义向量丛。
• 该猜想对广义秩 2 成立，对秩 3 几乎完全成立，唯一缺失部分是广义向量丛模空间的不可约性。
• 当 $\delta = 2\bar{g} - 2$ 时，模空间的维数与约化曲线 $X_{\mathrm{red}}$ 上稳定向量丛模空间的维数一致，即 $1 + R^2(\bar{g} - 1)$。