[论文解读] Cohesive fracture with irreversibility: quasistatic evolution for a model subject to fatigue

Vito Crismale, Giuliano Lazzaroni+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Contact Mechanics and Variational Inequalities参考文献 36被引用 25

一句话总结

本文建立了小应变平面应力粘聚断裂模型中准静态演化存在的结论，其中能量耗散依赖于裂纹开口跃迁的总变差，强制不可逆性，并通过小振荡实现疲劳诱发断裂。关键贡献是通过带Young测度的弱形式实现严格的存在性证明，随后证明该Young测度集中于跃迁的真实变差，从而解决了极限过程中跃迁变差缺乏一致控制的问题。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of quasistatic evolutions for a cohesive fracture on a prescribed crack surface, in small-strain antiplane elasticity. The main feature of the model is that the density of the energy dissipated in the fracture process depends on the total variation of the amplitude of the jump. Thus, any change in the crack opening entails a loss of energy, until the crack is complete. In particular this implies a fatigue phenomenon, i.e., a complete fracture may be produced by oscillation of small jumps. The first step of the existence proof is the construction of approximate evolutions obtained by solving discrete-time incremental minimum problems. The main difficulty in the passage to the continuous-time limit is that we lack of controls on the variations of the jump of the approximate evolutions. Therefore we resort to a weak formulation where the variation of the jump is replaced by a Young measure. Eventually, after proving the existence in this weak formulation, we improve the result by showing that the Young measure is concentrated on a function and coincides with the variation of the jump of the displacement.

研究动机与目标

• 建立一种粘聚断裂模型，其不可逆能量耗散依赖于裂纹开口跃迁的总变差。
• 捕捉疲劳现象：重复的小裂纹开口可导致完全断裂。
• 在标准紧致性方法因缺乏对跃迁变差控制而失效的设定下，建立准静态演化的存在性。
• 开发一种基于Young测度的弱形式，以克服连续时间极限中的收敛性问题。
• 证明Young测度解集中于位移跃迁的真实变差，从而恢复经典解。

提出的方法

• 构建离散时间的增量最小化问题，以逼近准静态演化。
• 引入一种弱形式，其中用Young测度替代跃迁的变差，以处理缺乏一致有界性的问题。
• 利用耗散函数g的结构特性——其为凹函数且非减，并具有有限极限——以控制能量平衡。
• 应用Young测度理论，实现向连续时间极限的过渡并提取弱极限。
• 证明Young测度集中于一个函数，该函数被识别为位移跃迁的总变差。
• 利用跃迁本质变差的微分恒等式，恢复演化的强形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为依赖于裂纹开口跃迁总变差的不可逆能量耗散的粘聚断裂模型构造准静态演化？
• RQ2 当离散近似中跃迁变差缺乏一致控制时，此类演化的存在性如何证明？
• RQ3 在具有不可逆耗散的变分模型中，疲劳现象——即通过小振荡导致完全断裂——是否能自然出现？
• RQ4 基于Young测度的弱形式能否恢复具有正确跃迁变差的经典解？
• RQ5 从位移及其跃迁的角度来看，极限演化的正则性与结构如何？

主要发现

• 为依赖于位移跃迁总变差的不可逆耗散的粘聚断裂模型，建立了准静态演化的存在性。
• 离散时间的增量最小化问题产生满足能量平衡与不可逆性的近似演化。
• 通过使用Young测度的弱形式，成功实现了向连续时间极限的过渡，克服了紧致性不足的问题。
• 证明Young测度集中于一个函数，该函数被识别为位移跃迁的总变差。
• 极限演化满足平衡方程与耗散平衡的强形式，位移的法向导数与耗散势的次微分相匹配。
• 该模型能捕捉疲劳现象：即使最大跃迁振幅有界，重复的小跃迁仍可导致完全断裂。