[论文解读] Cohomological Aspects of Magnus Expansions

Nariya Kawazumi|ArXiv.org|May 24, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用 96

一句话总结

本文将 Magnus 展开推广至自由群自同构群，将 Johnson 同态从 Torelli 子群扩展至整个自同构群 $\operatorname{Aut}(F_n)$，引入满足上边界关系的 'Johnson 映射'。第一类 Johnson 映射被证明是扭曲 1-上循环，其上同调类对应于 Morita-Mumford 类的 '唯一基本粒子'，从而统一证明了扭曲 Morita-Mumford 类之间的基本关系，并表明第一类 Johnson 映射在 $\operatorname{Aut}(F_n)$ 上不产生非平凡的有理上同调类，与在映射类群上的情况不同。

ABSTRACT

We generalize the notion of a Magnus expansion of a free group in order to extend each of the Johnson homomorphisms defined on a decreasing filtration of the Torelli group for a surface with one boundary component to the whole of the automorphism group of a free group $\operatorname{Aut}(F_{n})$. The extended ones are {\it not} homomorphisms, but satisfy an infinite sequence of coboundary relations, so that we call them {\it the Johnson maps}. In this paper we confine ourselves to studying the first and the second relations, which have cohomological consequences about the group $\operatorname{Aut}(F_{n})$ and the mapping class groups for surfaces. The first one means that the first Johnson map is a twisted 1-cocycle of the group $\operatorname{Aut}(F_{n})$. Its cohomology class coincides with ``the unique elementary particle" of all the Morita-Mumford classes on the mapping class group for a surface [Ka1] [KM1]. The second one restricted to the mapping class group is equal to a fundamental relation among twisted Morita-Mumford classes proposed by Garoufalidis and Nakamura [GN] and established by Morita and the author [KM2]. This means we give a simple and coherent proof of the fundamental relation. The first Johnson map gives the abelianization of the induced automorphism group $IA_n$ of a free group in an explicit way.

研究动机与目标

• 通过广义 Magnus 展开将 Johnson 同态从 $\operatorname{Aut}(F_n)$ 的 Torelli 子群扩展至整个自同构群。
• 定义并研究 'Johnson 映射'——满足无限上边界关系的非同态映射，重点关注第一类和第二类关系。
• 建立第一类 Johnson 映射为取值于 $H^* \otimes \Lambda^2 H$ 的扭曲 1-上循环，其上同调类对应于所有 Morita-Mumford 类的 '唯一基本粒子'。
• 证明第二类 Johnson 映射限制在映射类群上可恢复扭曲 Morita-Mumford 类之间的基本关系，从而提供一种新的统一证明。
• 证明第一类 Johnson 映射给出了 $\operatorname{Aut}(F_n)$ 的 $IA_n$ 子群的显式交换化。

提出的方法

• 通过广义 Magnus 展开定义 Johnson 映射，即从 $\operatorname{Aut}(F_n)$ 到 $H^*$ 与 $\Lambda^2 H$ 张量积的映射，其中 $H$ 是曲面的一阶同调群。
• 利用群上同调中的 Lyndon-Hochschild-Serre 谱序列分析 Johnson 映射的上同调性质。
• 将第一类 Johnson 映射定义为取值于 $H^* \otimes \Lambda^2 H$ 的扭曲 1-上循环，并将其上同调类识别为 $(1,1)$-扭曲 Morita-Mumford 类 $m_{1,1}$。
• 证明第二类 Johnson 映射满足与扭曲 Morita-Mumford 类之间基本关系等价的上边界关系，该猜想由 Garoufalidis 和 Nakamura 提出，后由 Morita 和作者证明。
• 应用表示论与环面不变性论证，计算 $\operatorname{GL}(H_\mathbb{Z})$-模的不变量，证明对任意 $m \geq 1$，有 $f_*(h_1^\times{m}) = 0$ 在有理上同调 $H^m(\operatorname{Aut}(F_n); \mathbb{Q})$ 中成立。
• 利用 $\operatorname{Aut}(F_n)$ 的虚拟上同调维数为 $2n-2$ 的事实，得出 $H^m(\operatorname{Aut}(F_n); \mathbb{Q}) = 0$ 对所有 $m \geq 2n-1$ 成立，并结合表示论论证，证明在不稳定范围内上同调类的消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将定义在 Torelli 子群上的 Johnson 同态扩展至整个自同构群 $\operatorname{Aut}(F_n)$？
• RQ2 这些扩展映射（称为 Johnson 映射）满足何种上同调结构？它们与扭曲 Morita-Mumford 类有何关系？
• RQ3 为何第一类 Johnson 映射在 $\operatorname{Aut}(F_n)$ 上不产生非平凡的有理上同调类，尽管在映射类群上会产生？
• RQ4 第一类 Johnson 映射的上同调类在与 Morita-Mumford 类的 '唯一基本粒子' 的关系中具有何种意义？
• RQ5 能否通过 Johnson 映射更简单、更一致地重新推导出扭曲 Morita-Mumford 类之间的基本关系？

主要发现

• 第一类 Johnson 映射是 $\operatorname{Aut}(F_n)$ 上的扭曲 1-上循环，其上同调类与 $(1,1)$-扭曲 Morita-Mumford 类 $m_{1,1}$ 一致，后者被识别为所有 Morita-Mumford 类的 '唯一基本粒子'。
• 第二类 Johnson 映射限制在映射类群 $\mathcal{M}_{g,1}$ 上可恢复扭曲 Morita-Mumford 类之间的基本关系，从而为这一关键关系提供了新的、简洁的证明。
• 第一类 Johnson 映射给出了 $\operatorname{Aut}(F_n)$ 的 $IA_n$ 子群的显式交换化描述。
• 对任意 $m \geq 1$ 及任意 $\operatorname{GL}(H_\mathbb{Z})$-不变线性泛函 $f$，有 $f_*(h_1^\times{m})$ 在 $H^m(\operatorname{Aut}(F_n); \mathbb{Q})$ 中消失，从而证明第一类 Johnson 映射在 $\operatorname{Aut}(F_n)$ 上不产生非平凡的有理上同调类。
• 该消失性在不稳定范围内依然成立，与映射类群的情形相反，在后者中同一映射可生成所有 Morita-Mumford 类。
• 该结果与 Galatius 的稳定消失定理一致，即当 $n > 2k+1$ 时 $\widetilde{H}^k(\operatorname{Aut}(F_n); \mathbb{Q})$ 消失，但本文通过表示论与上同调维数论证，独立地对所有 $n$ 和 $m \geq 1$ 建立了该消失性。