[论文解读] Cohomological Donaldson-Thomas theory of a quiver with potential and quantum enveloping algebras

Ben Davison, Sven Meinhardt|Edinburgh Research Explorer|Jan 11, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 17

一句话总结

该论文通过在共形霍尔代数上使用奇异过滤，对带有势能的quiver的唐纳森-托马斯理论中的整数性猜想和壁穿刺公式建立了上同调范畴化。它将这些同构实现为Poincaré-Birkhoff-Witt型同构，并构建了一个BPS不变量的李代数，表明共形霍尔代数是量子群的正部分。

ABSTRACT

This paper concerns the cohomological aspects of Donaldson-Thomas theory for Jacobi algebras and the associated cohomological Hall algebra, introduced by Kontsevich and Soibelman. We prove the Hodge-theoretic categorification of the integrality conjecture and the wall crossing formula, and furthermore realise the isomorphism in both of these theorems as Poincaré-Birkhoff-Witt isomorphisms for the associated cohomological Hall algebra. We do this by defining a perverse filtration on the cohomological Hall algebra, a result of the "hidden properness" of the semisimplification map from the moduli stack of semistable representations of the Jacobi algebra to the coarse moduli space of polystable representations. This enables us to construct a degeneration of the cohomological Hall algebra, for generic stability condition and fixed slope, to a free supercommutative algebra generated by a mixed Hodge structure categorifying the BPS invariants. As a corollary of this construction we furthermore obtain a Lie algebra structure on this mixed Hodge structure - the Lie algebra of BPS invariants - for which the entire cohomological Hall algebra can be seen as the positive part of a Yangian-type quantum group.

研究动机与目标

• 对带有势能的quiver在共形唐纳森-托马斯理论中的整数性猜想和壁穿刺公式进行范畴化。
• 通过模堆栈的半简化映射定义共形霍尔代数上的奇异过滤。
• 将整数性和壁穿刺同构实现为共形霍尔代数的Poincaré-Birkhoff-Witt同构。
• 在BPS不变量的混合霍奇结构上构造李代数结构，将共形霍尔代数识别为量子群的正部分。
• 为共形霍尔代数语境下BPS态的李代数提供数学基础。

提出的方法

• 利用半简化映射（从半稳定表示的模堆栈到多项稳定表示的粗模空间）的‘隐藏紧致性’，在共形霍尔代数上定义奇异过滤。
• 为通用稳定性条件和固定斜率构造共形霍尔代数的退化，并将其退化为由分类BPS不变量的混合霍奇结构生成的自由超交换代数。
• 使用单调混合霍奇模和等变消失上同调分析霍尔代数的上同调结构。
• 应用哈勒-纳拉西姆汉过滤来过滤共形霍尔代数，并证明其伴随的graded映射是纯混合霍奇模的同构。
• 通过框架化quiver表示模空间上的对应关系建立相对共形霍尔代数结构。
• 证明共形霍尔代数通过Poincaré-Birkhoff-Witt型同构同构于BPS李代数的扭曲对称代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在带有势能的quiver的唐纳森-托马斯理论中，整数性猜想如何在上同调层面实现范畴化？
• RQ2 奇异过滤在组织共形霍尔代数结构及其退化中起什么作用？
• RQ3 壁穿刺公式在共形霍尔代数中如何体现？能否将其作为Poincaré-Birkhoff-Witt同构实现？
• RQ4 在此上同调框架下，从BPS不变量中涌现出何种李代数结构？
• RQ5 共形霍尔代数与量子群有何关系？正部分构造的意义是什么？

主要发现

• 通过共形霍尔代数的Poincaré-Birkhoff-Witt同构，整数性猜想得以范畴化。
• 壁穿刺公式在共形霍尔代数设定中被实现为Poincaré-Birkhoff-Witt同构。
• 共形霍尔代数退化为由分类BPS不变量的混合霍奇结构生成的自由超交换代数。
• 在BPS不变量的混合霍奇结构上构造了李代数结构，称为BPS李代数。
• 共形霍尔代数被识别为一种杨振型量子群的正部分。
• 通过扭曲对称代数构造，建立了共形霍尔代数与BPS李代数对称代数之间的同构，证实了量子群结构。