[论文解读] COHOMOLOGICAL HASSE PRINCIPLE AND MCKAY PRINCIPLE FOR WEIGHT HOMOLOGY

Moritz Kerz, Shuji Saito|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 1

一句话总结

本文通过将其约化至Kato的上同调Hasse原理，为商奇点的权同调建立了McKay原理，从而通过等变方案的权同调来描述商方案的权同调。一个关键结果是，此类解析中例外除子的配置复形具有平凡同调。

ABSTRACT

In this paper we study weight homology of singular schemes. Weight homology is an invariant of a singular scheme defined in terms of the configuration complex of a resolution of singularities. Our main result is McKay principle for weight homology of quotient singularities, i.e. we describe weight homology of the quotient scheme in terms of weight homology of the equivariant scheme. Our method is to reduce the geometric McKay principle for weight homology to Kato's cohomological Hasse principle for arithmetic schemes. As a corollary of the McKay principle, we show that the configuration complex of the exceptional divisors of a resolution of a quotient singularity has trivial homology.

研究动机与目标

• 将McKay原理推广至奇异概形的权同调情境。
• 将商概形的权同调与其中心等变解析的权同调联系起来。
• 在算术几何中，建立权同调与上同调Hasse原理之间的几何联系。
• 分析商奇点解析中与例外除子相关的配置复形的同调性质。

提出的方法

• 将权同调的几何McKay原理约化为算术概形的Kato上同调Hasse原理。
• 利用奇异解析的配置复形作为定义权同调的基础结构。
• 应用等变技术，将商概形的权同调与等变概形的权同调联系起来。
• 运用同调代数工具分析例外除子配置的结构。
• 借助已知的上同调Hasse原理结果，推断权同调群的性质。
• 通过解析的导出不变量分析例外除子配置复形的同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 McKay原理如何能推广至商奇点的权同调？
• RQ2 商概形的权同调与其中心等变解析的权同调之间存在何种关系？
• RQ3 Kato的上同调Hasse原理在多大程度上支配此情境下权同调的同调结构？
• RQ4 商奇点解析中例外除子配置复形的同调性质是什么？
• RQ5 能否从McKay原理和上同调Hasse原理推导出例外除子复形同调的平凡性？

主要发现

• 建立了权同调的McKay原理，表明商概形的权同调由对应等变概形的权同调决定。
• 商奇点解析中例外除子的配置复形具有平凡同调。
• 将几何McKay原理约化为Kato的上同调Hasse原理，为研究权同调提供了新的算术-几何框架。
• 该方法成功地通过上同调Hasse原理，将等变概形的同调信息传递至商概形。
• 例外除子复形同调的平凡性是McKay原理与底层上同调机制的直接推论。
• 结果表明，奇异点的解析、等变结构与奇异概形中的上同调不变量之间存在深刻联系。