[论文解读] Cohomological Hasse principle and resolution of quotient singularities

Moritz Kerz, Shuji Saito|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 13

一句话总结

本文通过将几何问题约化为Kato的上同调Hasse原理，建立了商奇点解析中例外除子对偶复形同伦型的McKay原理。证明了商奇点解析中例外除子的对偶复形与等变解析中对偶复形的商同伦等价，从而得出关键结果：在特征为零或具有奇点解析的完美域上，孤立商奇点的对偶复形是可缩的。

ABSTRACT

In this paper we study weight homology of singular schemes. Weight homology is an invariant of a singular scheme defined in terms of hypercoverings of resolution of singularities. Our main result is McKay principle for weight homology of quotient singularities, i.e. we describe weight homology of a quotient scheme in terms of weight homology of an equivariant scheme. Our method is to reduce the geometric McKay principle for weight homology to Kato's cohomological Hasse principle for arithmetic schemes. The McKay principle for weight homology implies McKay principle for the homotopy type of the dual complex of the exceptional divisors of a resolution of a quotient singularity. As a consequence we show that the dual complex is contractible for isolated quotient singularities.

研究动机与目标

• 建立商奇点解析中例外除子对偶复形同伦型的McKay原理。
• 通过权同调，将商奇点 $X/G$ 的解析几何与 $X$ 的 $G$-等变几何联系起来。
• 证明当奇点集孤立时，$X/G$ 解析中例外除子的对偶复形 $\Gamma(E_S)$ 是可缩的。
• 将几何McKay原理约化为算术概形上的Kato上同调Hasse原理。
• 证明典范映射 $\phi: \Gamma(E_T)/G \to \Gamma(E_S)$ 在同调群与基本群上诱导同构，从而在特定条件下推出同伦等价。

提出的方法

• 使用权同调作为通过奇点解析的超覆盖定义的奇点概形不变量。
• 应用Kato的上同调Hasse原理，将几何McKay原理约化为算术下降性质。
• 在 $G$-概形的背景下，运用等变权同调与同调函子的下降技术。
• 利用特征为零或完美域中的典范奇点解析，以确保存在光滑的 $G$-等变解析。
• 构造一个交换图，关联 $\widetilde{X}/G$、$\widetilde{Y}$ 和 $\widetilde{Y}'$，通过 $cs$-覆盖与同伦等价关联对偶复形。
• 应用Whitehead与Hurewicz定理，从同调群与基本群的同构推导出同伦等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 商奇点 $X/G$ 解析中例外除子的对偶复形是否具有由 $X$ 的 $G$-等变几何决定的同伦型？
• RQ2 能否通过上同调下降建立对偶复形同伦型的McKay原理？
• RQ3 当 $X/G$ 的奇点集孤立时，对偶复形 $\Gamma(E_S)$ 是否可缩？
• RQ4 典范映射 $\phi: \Gamma(E_T)/G \to \Gamma(E_S)$ 是否在同调群与基本群上诱导同构？
• RQ5 能否利用等变解析 $\widetilde{X}$ 的权同调来计算 $X/G$ 解析 $\widetilde{Y}$ 的权同调？

主要发现

• 典范映射 $\phi: \Gamma(E_T)/G \to \Gamma(E_S)$ 对所有同调群 $H_a$（$a \in \mathbb{Z}$）诱导同构。
• 映射 $\phi$ 同样在基本群 $\pi_1$ 上诱导同构。
• 若 $\Gamma(E_T)/G$ 是单连通的，则 $\phi$ 是同伦等价。
• 若 $\Gamma(E_T)/G$ 是可缩的，则 $\Gamma(E_S)$ 是可缩的。
• 当 $T$ 光滑时（例如奇点集孤立时），$\Gamma(E_S)$ 是可缩的。
• 该结果在特征为零或具有典范奇点解析的完美域上成立，将Stepanov定理推广至等变情形。