[论文解读] Cohomological Induction over Q and Frobenius-Schur indicators for (g,K)-modules

Fabian Januszewski|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Advanced Algebra and Geometry被引用 1

一句话总结

本文在一般重李群的尖形式空间上建立了全局有理结构，证明了其在 GL(n) 上的最优性。它发展了在任意特征零域上的哈里什-钱德拉模的基础理论，包括有理特征理论、平移函子和上同调归纳法，并将其应用于构造 GL(n) 陈数自守表示的自然周期，对 L 函数特殊值的算术性质具有重要意义。

ABSTRACT

This paper proves the existence of global rational structures on spaces of cusp forms of general reductive groups. We identify cases where the constructed rational structures are optimal, which includes the case of GL($n$). As an application, we deduce the existence of a natural set of periods attached to cuspidal automorphic representations of GL($n$). This has consequences for the arithmetic of special values of $L$-functions that we discuss in subsequent articles. In the course of proving our results, we lay the foundations for a general theory of Harish-Chandra modules over arbitrary fields of characteristic $0$. In this context, a rational character theory, translation functors and an equivariant theory of cohomological induction are developed. We also study descent problems for Harish-Chandra modules in quadratic extensions, where we obtain a complete theory over number fields.

研究动机与目标

• 为一般重李群的尖形式空间构造全局有理结构。
• 确定这些有理结构在何种条件下最优，特别是针对 GL(n)。
• 在任意特征零域上发展哈里什-钱德拉模的一般理论。
• 在数域的二次扩张上建立哈里什-钱德拉模的完整下降理论。
• 将该理论应用于推导出 GL(n) 陈数自守表示的自然周期，并探讨其对 L 函数特殊值算术性质的影响。

提出的方法

• 在任意特征零域上发展 (g,K)-模的理论，扩展了有理特征、平移函子等基础结构。
• 在任意特征零域上引入一个等变上同调归纳函子，推广了经典构造。
• 应用上同调归纳法构造尖形式空间上的有理结构，证明其存在性及关键情形下的最优性。
• 分析哈里什-钱德拉模在二次扩张中的下降问题，在数域上实现完整的理论。
• 利用构造的有理结构，为 GL(n) 陈数自守表示定义一组典范周期。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一般重李群的尖形式空间上存在全局有理结构？
• RQ2 所构造的尖形式有理结构在何种情况下最优，特别是针对 GL(n)？
• RQ3 如何在任意特征零域上建立哈里什-钱德拉模的连贯理论？
• RQ4 在数域的二次扩张上，哈里什-钱德拉模的完整下降理论是什么？
• RQ5 GL(n) 陈数自守表示存在自然周期后，会带来哪些算术后果？

主要发现

• 所有一般重李群的尖形式空间上均存在全局有理结构。
• 所构造的有理结构在 GL(n) 上是最优的，提供了典范的算术框架。
• 发展了在任意特征零域上的 (g,K)-模的完整理论，包括有理特征理论和平移函子。
• 在数域的二次扩张上建立了哈里什-钱德拉模的完整下降理论。
• 为 GL(n) 陈数自守表示关联了一组自然周期，对 L 函数特殊值的算术性质具有重要意义。