[论文解读] Cohomological localization for transverse Lie algebra actions on Riemannian foliations

Yi Lin, Reyer Sjamaar|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文建立了黎曼叶状丛上阿贝尔李代数的横截作用的上同调局部化定理，将先前的结果从Killing叶状丛推广至更一般的情形。论文证明了局部化等变基本上同调中的Borel-Atiyah-Segal型同构，以及一个Atiyah-Bott-Berline-Vergne风格的积分公式，从而导出横截辛叶状丛上的Duistermaat-Heckman定理。

ABSTRACT

We prove localization and integration formulas for the equivariant basic cohomology of Riemannian foliations. As a corollary we obtain a Duistermaat-Heckman theorem for transversely symplectic foliations.

研究动机与目标

• 将上同调局部化公式从Killing叶状丛推广至具有额外外部阿贝尔李代数对称性、横截作用于黎曼叶状丛的情形。
• 解决Goertsches等人（2014年）提出的一个开放问题：在横截李代数作用背景下，构造反变Borel-Atiyah-Segal局部化定理。
• 为具有横截等距作用的黎曼叶状丛的等变基本上同调建立协变Atiyah-Bott-Berline-Vergne局部化公式。
• 作为主要局部化结果的推论，推导出横截辛叶状丛上的Duistermaat-Heckman定理。
• 构建一个横截作用李代数丛框架，该框架推广了作用代数丛，并可积分至一个李群丛，从而为未来在非黎曼叶状丛中的应用奠定基础。

提出的方法

• 本文从阿贝尔李代数在叶状流形上的作用构造横截作用李代数丛，其可积分至一个可能非豪斯多夫的李群丛。
• 应用先前工作（Lin 和 Sjamaar, 2020）中的等变Thom同构定理，建立等变基本上同调中的局部化。
• 通过在局部化等变基本上同调环中利用对偶李代数的对称代数去掉零元，证明了Borel-Atiyah-Segal局部化。
• 利用在固定叶分量上的横截积分，推导出Atiyah-Bott-Berline-Vergne公式，其中包含等变基本欧拉形式及其等变欧拉类的逆。
• 该框架依赖于Molino对黎曼叶状丛的结构理论，特别是中心化子层及其在Killing叶状丛中的全局阿贝尔结构。
• 作者使用横截de Rham复形和在等变微分 $d_{rak{g}}$ 下封闭的等变基本形式，来定义上同调不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将上同调局部化定理从Killing叶状丛推广至具有额外外部阿贝尔李代数对称性、横截作用于黎曼叶状丛的情形？
• RQ2 在横截李代数作用于黎曼叶状丛的背景下，局部化等变基本上同调中是否存在Borel-Atiyah-Segal型同构？
• RQ3 能否在此推广的设定中为等变基本上同调建立Atiyah-Bott-Berline-Vergne风格的积分公式？
• RQ4 横截作用李代数丛的结构是什么？它是否可积分至一个李群丛，即使在截面定理不成立时？
• RQ5 该局部化框架是否能导出横截辛叶状丛上的Duistermaat-Heckman定理？

主要发现

• 包含映射 $M^{rak{g}} \to M$ 在局部化等变基本上同调中诱导一个同构：$S^{-1}H_{rak{g}}(M,{rak{F}}) \to S^{-1}H_{rak{g}}(M^{rak{g}},{rak{F}})$，其中 $S$ 是乘法子集 $S\frak{g}^{*} \setminus \{0\}$。
• 一个Atiyah-Bott-Berline-Vergne积分公式成立：$\fint_M \alpha = \sum_X \fint_X \eta_X^{-1} \wedge i_X^*\alpha$，其中 $X$ 遍历 $M^{rak{g}}$ 的连通分量，$\eta_X$ 是等变基本欧拉形式，$\fint$ 表示横截积分。
• 作为推论，得到了一个Duistermaat-Heckman定理：对于具有等距横截 $\frak{g}$-作用的横截辛叶状丛，等变闭基本形式的横截积分为一个关于固定分量的求和，涉及欧拉类的逆。
• 证明了横截作用李代数丛 $\frak{g} \ltimes \frak{F}$ 可积分至一个未必是豪斯多夫的李群丛，从而推广了作用代数丛的构造。
• 在等距横截李代数作用下，建立了轨道型分层定理，类似于正规群作用的情形，尽管在此背景下截面定理不成立。
• 该结果使得可计算环形拟流形的基本贝蒂数，如后续应用所示（Lin, 2020, §6）。