[论文解读] Cohomologically hyperbolic endomorphisms of complex manifolds

De‐Qi Zhang|arXiv (Cornell University)|May 27, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文证明了，若紧致凯勒流形上存在共轭双曲的满射自同态，则其双有理几何亏格非正，从而在全纯情形下证实了古杰的猜想。通过代数几何方法，本文对具有共轭双曲的平展自同态的射影三维流形的几何结构及其基本群（模有限指标）进行了分类，识别出五种可能情形，包括卡拉比-丘流形、有理连通流形，以及满足特定动力度条件的纤维化结构。

ABSTRACT

We show that if a compact Kahler manifold X admits a cohomologically hyperbolic surjective endomorphism then its Kodaira dimension is non-positive. This gives an affirmative answer to a conjecture of Guedj in the holomorphic case. The main part of the paper is to determine the geometric structure and the fundamental groups (up to finite index) for those X of dimension 3.

研究动机与目标

• 证明任何具有共轭双曲满射自同态的紧致凯勒流形的双有理几何亏格 $\leq 0$，从而证实古杰的猜想。
• 对具有共轭双曲平展自同态的光滑射影三维流形的几何结构进行分类。
• 确定此类三维流形的基本群（模有限指标）。
• 通过涉及K3曲面、椭圆曲线和卡拉比-丘流形的显式例子，实现分类结果。

提出的方法

• 利用科凡斯科伊–泰瑟不等式分析动力度 $d_i(f)$ 在凯勒形式拉回下的行为。
• 应用文献[22]中的结果，在不依赖分类的前提下建立双有理几何亏格的上界，从而实现对任意维度的一般性证明。
• 采用代数几何技术，包括极小模型、典范奇点和共形解析，对三维流形结构进行分类。
• 利用动力度的乘积公式：$d_i(f) = \max_{0\leq s\leq i} \{ d_s(f_Z) \cdot d_{i-s}(f_E) \}$，该公式由库恩佩特公式与上同调拉回导出。
• 分析等变双有理模型及椭圆曲线与K3曲面乘积上的有限群作用，以实现分类情形的构造。
• 应用塞尔对偶性及基本群的性质，推导出 $\pi_1(X)$ 有限，或包含一个与 $\mathbb{Z}^{\oplus 2}$ 或 $\mathbb{Z}^{\oplus 6}$ 同构的有限指标子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致凯勒流形上存在共轭双曲自同态，是否意味着其双有理几何亏格非正？
• RQ2 具有共轭双曲平展自同态的光滑射影三维流形可能的几何结构有哪些？
• RQ3 此类三维流形可能的基本群（模有限指标）有哪些？
• RQ4 分类结果能否通过涉及K3曲面、椭圆曲线和卡拉比-丘流形的显式例子实现？
• RQ5 在乘积结构下，动力度如何行为？它们对几何结构施加了何种约束？

主要发现

• 任何具有共轭双曲满射自同态的紧致凯勒流形 $X$ 的双有理几何亏格 $\kappa(X)$ 满足 $\leq 0$，从而证实了古杰的猜想。
• 对于具有共轭双曲平展自同态的光滑射影三维流形，五种几何情形之一必然成立：$Q$-环面、弱卡拉比-丘流形、有理连通流形、纤维化于椭圆曲线且纤维为有理曲面的流形，或椭圆曲线 $E$ 与K3曲面乘积在自由有限群作用下的商流形。
• 在情形(4)中，动力度满足 $d_2(f) > d_1(f) \geq \deg(f) \geq 2$，且纤维为Picard数 $\geq 11$ 的有理曲面。
• 在情形(5)中，动力度满足 $d_2(f) > d_1(f) \geq \deg(f) \geq 2$，且该流形在 $f$-等变双有理同构下同构于 $E \times K3$ 在有限自由作用下的商。
• 此类三维流形的基本群 $\pi_1(X)$ 要么有限，要么包含一个与 $\mathbb{Z}^{\oplus 2}$ 或 $\mathbb{Z}^{\oplus 6}$ 同构的有限指标子群。
• 通过构造具有正熵自同态的曲面乘积及 $\mathbb{P}^1$ 上的自同态，显式构造了满足共轭双曲性的例子，利用动力度的乘积公式验证了共轭双曲性。