[论文解读] Cohomologie d'intersection des variétés modulaires de Siegel, suite

Sophie Morel|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2018

Advanced Algebra and Geometry被引用 3

一句话总结

本文通过运用科特维茨（Kottwitz）的方法以及基本引理，对Siegel模簇的交线上同调稳定化了固定点公式，建立了其稳定迹公式。该工作证明了科特维茨（1990）的猜想，将Hecke算子与Frobenius幂在交线上同调上的迹表示为GSp_{2n}的各内播群上稳定分布之和，且对GSp_4和GSp_6给出了无条件的应用结果。

ABSTRACT

In this work, we study the intersection cohomology of Siegel modular varieties. The goal is to express the trace of a Hecke operator composed with a power of the Frobenius endomorphism (at a good place) on this cohomology in terms of the geometric side of Arthur's invariant trace formula for well-chosen test functions. Our main tools are the results of Kottwitz about the contribution of the cohomology with compact support and about the stabilization of the trace formula, Arthur's $L^2$ trace formula and the fixed point formula of the author. We "stabilize" this last formula, ie express it as a sum of stable distributions on the general symplectic groups and its endoscopic groups, and obtain the formula conjectured by Kottwitz. Applications of the results of this article have already been given by Kottwitz, assuming Arthur's conjectures. Here, we give weaker unconditional applications in the cases of the groups $\mathrm{GSp}_4$ and $\mathrm{GSp}_6$.

研究动机与目标

• 将Siegel模簇交线上同调上Hecke算子与Frobenius幂复合的迹，用稳定分布的形式表达。
• 通过内播转移，对与GSp_{2n}相关的非紧致Shimura簇上同调的固定点公式进行稳定化。
• 在不依赖亚瑟猜想的前提下，为GSp_4和GSp_6情形提供科特维茨猜想的无条件应用。
• 将科特维茨对迹公式几何侧的稳定化方法，推广至非椭圆项，借助Levi子群与内播群实现。
• 处理稳定化过程中阿代尔部分的贡献，这是超越紧致情形的主要技术难点。

提出的方法

• 利用Grothendieck-Lefschetz的固定点公式，将交线上同调上的迹与几何数据关联起来。
• 应用Arthur的L^2迹公式，以及科特维茨对紧支集上同调的结果，对迹进行分解。
• 通过将迹公式表示为GSp_{2n}及其内播群上稳定分布之和，实现固定点公式的稳定化。
• 利用基本引理及其扭曲形式（由Laumon-Ngo与Waldspurger建立），确保轨道积分的转移。
• 通过精细的正规化与特征转移，处理阿代尔部分，将科特维茨的方法推广至非 simply-connected 的内播群。
• 利用内播数据（三元组(H,s,η₀)）对稳定分布进行参数化，并从f^∞定义转移函数f_H^{(j)}。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在几何上表达Siegel模簇交线上同调上Hecke算子与Frobenius幂复合的迹？
• RQ2 在此背景下，GSp_{2n}及其内播群的稳定迹公式的确切形式为何？
• RQ3 科特维茨关于迹公式几何侧的猜想，能否在GSp_4和GSp_6情形下无条件证明？
• RQ4 固定点公式的稳定化如何从椭圆情形推广至包含非椭圆项的情形？
• RQ5 Levi子群及其内播群在阿代尔处的稳定化过程中起到何种作用？

主要发现

• 本文证明了科特维茨（1990）的猜想[K7]，将交线上同调上的迹表示为内播群上稳定分布之和。
• 对于GSp_4和GSp_6，结果为无条件成立，给出了无需假设亚瑟猜想的显式公式。
• 通过基本引理及其扭曲形式，实现了轨道积分的转移，从而达成固定点公式的稳定化。
• 阿代尔部分的贡献通过对手Levi子群及其内播数据的详细分析得以稳定化，扩展了科特维茨的方法。
• 公式将Tr(Frob_p^j × f^∞, IH^*(S^K, V)) 表示为内播三元组(H,s,η₀)上的稳定轨道积分ST^H(f_H^{(j)})之和。
• 转移函数f_H^{(j)}从f^∞、j和表示V显式构造，确保与迹公式的相容性。