[论文解读] Cohomologie $L^p$ en degr\\'e 1 des espaces homog\\`enes

Pierre Pansu|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 7

一句话总结

本文计算了非紧致黎曼齐次空间在1度的$L^p$-上同调，表明约化$L^p$-上同调非平凡当且仅当该空间拟等距于负曲率齐次空间。关键结果建立了一个三分法：除非该空间在无穷远处闭合（存在挠率）或与负曲率空间共轭（当$p > \mathbf{p}(M)$时具有非平凡约化上同调），否则上同调消失。

ABSTRACT

The $L^p$-cohomology in degree 1 of Riemannian homogeneous spaces is computed. It turns out that reduced cohomology does not vanish exactly for spaces quasiisometric to negatively curved homogeneous spaces.

研究动机与目标

• 计算非紧致黎曼齐次空间在1度的$L^p$-上同调。
• 确定约化$L^p$-上同调$R^{1,p}(M)$非平凡的条件。
• 基于$H^{1,p}(M)$和$R^{1,p}(M)$的消失或非消失对齐次空间进行分类。
• 建立非平凡约化上同调仅出现在与具有严格负曲率的空间拟等距的空间中的结论。
• 将临界指数$\mathbf{p}(M)$与负曲率空间的边界在无穷远处的Hausdorff维数等几何不变量联系起来。

提出的方法

• 利用$L^p$-上同调的拟等距不变性，将问题约化为研究具有左不变度量的李群。
• 应用H. Hoke对在无穷远处闭合的李群的刻画，识别出第一类具有非平凡挠率的空间。
• 利用E. Heintze对具有负截面曲率的齐次空间的分类，识别出第二类空间。
• 利用Bessel空间理论和$L^p$-调和形式分析$R^{1,p}(M)$的结构，特别是当$p=2$时。
• 应用$ L^p$-上同调的扭曲积的Künneth公式以及对称空间的$L^p$-上同调结果。
• 应用von Neumann维数和$L^2$-贝蒂数理论，排除在无穷远处闭合的空间中存在非平凡$R^{1,2}(M)$的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些非紧致黎曼齐次空间，1度的$L^p$-上同调是非平凡的？
• RQ2 哪些特征刻画了具有非消失约化$L^p$-上同调$R^{1,p}(M)$的空间？
• RQ3 临界指数$\mathbf{p}(M)$如何与边界在无穷远处的Hausdorff维数等几何不变量相关联？
• RQ4 $L^p$-上同调能否区分在无穷远处闭合的空间与具有负曲率的空间？
• RQ5 何时挠率$T^{1,p}(M)$消失，何时$R^{1,p}(M)$非平凡？

主要发现

• 当且仅当$M$在无穷远处闭合或与负曲率齐次空间共轭时，对所有$p > 1$，$L^p$-上同调$H^{1,p}(M)$才非零。
• 对于在无穷远处闭合的空间，对所有$p > 1$，有$T^{1,p}(M) \neq 0$且$R^{1,p}(M) = 0$，表明存在非平凡挠率但无约化上同调。
• 对于与负曲率齐次空间共轭的空间，当且仅当$p > \mathbf{p}(M)$时，有$T^{1,p}(M) = 0$且$R^{1,p}(M) \neq 0$，其中$\mathbf{p}(M)$至少为2，除非是双曲平面。
• $\mathbf{p}(M)$等于负曲率空间边界在无穷远处的Hausdorff维数，如命题24所示。
• 当$p > \mathbf{p}(M)$时，约化上同调$R^{1,p}(M)$同构于边界在无穷远处的Besov空间$B^{p,p}_{1/p}$模去常数。
• 唯一存在非平凡$L^2$-调和函数且其梯度属于$L^2$的齐次空间是与双曲平面拟等距的空间，如推论3所示。