[论文解读] Cohomologie p-adique de la tour de Drinfeld: le cas de la dimension 1

Pierre Colmez, Gabriel Dospinescu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2017

Advanced Algebra and Geometry被引用 5

一句话总结

本文计算了德林费尔德 $p$-进上半平面覆盖的 $p$-进几何平展上同调，并表明对于基域 $\mathbf{Q}_p$，该上同调实现了具有 Hodge-Tate 权重 0 和 1 的二维 de Rham 表示的 $p$-进局部 Langlands 对应。关键结果通过一个涉及 Weil-Deligne 表示及其相关对象的 Hom-空间同构，精确建立了上同调与 Jacquet-Langlands 及 $p$-进 Langlands 对应之间的联系。

ABSTRACT

We compute the p-adic geometric étale cohomology of the coverings of Drinfeld's half-plane, and we show that, if the base field is Q_p, this cohomology encodes the p-adic local Langlands correspondence for 2-dimensional de Rham representations (of weight 0 and 1).

研究动机与目标

• 理解德林费尔德 $p$-进上半平面覆盖的 $p$-进几何平展上同调的结构。
• 研究该上同调是否编码了 $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ 的假设性 $p$-进局部 Langlands 对应。
• 为具有 Hodge-Tate 权重 0 和 1 的二维 de Rham 表示建立 $p$-进局部 Langlands 对应的几何实现。
• 探索刚性解析空间的平展覆盖的 $p$-进上同调行为，挑战人们对其不可计算性的预期。

提出的方法

• 计算德林费尔德上半平面的无限覆盖 $\mathscr{M}_\infty$ 的 $p$-进几何平展上同调。
• 利用拟代数技术分析覆盖塔的上同调。
• 应用具有紧支集的 de Rham 上同调以研究 $\mathscr{M}_\infty$ 的上同调结构。
• 通过上同调实现建立局部与全局 Langlands 对应之间的相容性。
• 将 Steinberg 表示及其连续对偶作为关键的上同调构造块。
• 利用 $\mathrm{GL}_2(F) \times \mathscr{G}_F$ 在上同调上的作用，将伽罗瓦表示与自守数据联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 德林费尔德塔的 $p$-进平展上同调是否实现了 $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ 的 $p$-进局部 Langlands 对应？
• RQ2 德林费尔德上半平面的平展覆盖的上同调行为如何，特别是其上同调性与表示论结构如何？
• RQ3 塔 $\mathscr{M}_\infty$ 的上同调能否用于几何地构造具有 Hodge-Tate 权重 0 和 1 的 de Rham 表示的 $p$-进局部 Langlands 对应？
• RQ4 $\mathscr{M}_\infty$ 的上同调与 Jacquet-Langlands 及 $p$-进 Langlands 对应之间的确切关系是什么？
• RQ5 尽管最初预期其不可计算，这些覆盖的上同调在多大程度上仍保持可计算性与结构化？

主要发现

• 作为具有平凡伽罗瓦作用的 $\mathrm{GL}_2(F) \times \mathscr{G}_F$-表示，德林费尔德上半平面 $\Omega_{\mathrm{Dr}}$ 的 $p$-进几何平展上同调同构于 $\mathbf{Q}_p$ 上 Steinberg 表示的连续对偶。
• 当 $F = \mathbf{Q}_p$ 时，上同调 $H^1_{\mathrm{ét}}(\mathscr{M}_\infty, \mathbf{Q}_p(1))$ 实现了具有 Hodge-Tate 权重 0 和 1 的二维 de Rham 表示的 $p$-进局部 Langlands 对应。
• 存在一个典范同构 $\mathrm{Hom}_{\mathrm{W}_{\mathbf{Q}_p}}(V, H^1_{\mathrm{ét}}(\mathscr{M}_\infty, \mathbf{Q}_p(1))) \cong \mathrm{JL}(V) \otimes \Pi(V)^*$，其中 $\mathrm{JL}(V)$ 是 Jacquet-Langlands 提升，$\Pi(V)^*$ 是 $V$ 的 $p$-进 Langlands 对偶。
• $\mathscr{M}_\infty$ 的上同调作为 $\mathrm{GL}_2(F)$-表示并非上同调性，这与基于基情形的初始预期相反。
• 该上同调以一种推广经典 $\ell$-进情形的方式编码了局部 Langlands 对应，但处于 $p$-进设定中。
• 结果为指定类别的表示提供了 $p$-进局部 Langlands 对应的几何构造，通过刚性解析几何与拟代数空间提供了新视角。