[论文解读] Cohomologie quantique orbifolde des espaces projectifs a poids

Étienne Mann|ArXiv.org|Oct 16, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 18

一句话总结

本文通过在orbifold Gromov-Witten不变量的某个猜想下，将Barannikov在2001年关于复射影空间量子上同调的结果推广至加权射影空间的orbifold量子上同调。该研究建立了加权射影空间 $w_0, \ldots, w_n$ 的orbifold量子上同调与由洛朗多项式 $f(u_0,\ldots,u_n) = u_0 + \cdots + u_n$ 限制在超曲面 $\prod u_i^{w_i} = 1$ 上所导出的Frobenius流形结构之间的同构关系。该结果通过Frobenius流形结构将镜像对称对应关系推广至orbifold情形。

ABSTRACT

In 2001, S. Barannikov showed that the Frobenius manifold coming from the quantum cohomology of the complex projective space is isomorphic to the Frobenius manifold attached to some Laurent polynomial. The purpose of this thesis is to generalize this result. More precisely, we show, up to a conjecture on the value of some orbifold Gromov-Witten invariants, that the Frobenius structure obtained on the orbifold quantum cohomology of the weighted projective spaces is isomorphic to the one attached to some Laurent polynomial.

研究动机与目标

• 将Barannikov在2001年关于 $\mathbb{P}^n$ 的量子上同调Frobenius流形结构结果推广至orbifold情形。
• 在加权射影空间的orbifold量子上同调与特定洛朗多项式相关的Frobenius流形之间建立镜像对称对应关系。
• 验证 $\mathbb{P}(w_0,\ldots,w_n)$ 的orbifold量子上同调上的Frobenius结构是否与洛朗多项式 $f(u_0,\ldots,u_n) = \sum u_i$ 限制在 $\prod u_i^{w_i} = 1$ 上的Brieskorn格和Gauss-Manin系统一致。
• 提出并分析一个关于orbifold Gromov-Witten不变量取值的猜想，该猜想对同构关系的建立至关重要。

提出的方法

• 通过orbifold Gromov-Witten不变量构造加权射影空间 $\mathbb{P}(w_0,\ldots,w_n)$ 的orbifold量子上同调。
• 通过由这些不变量和orbifold Poincaré对偶性构造的势函数，定义orbifold量子上同调上的Frobenius流形结构。
• 利用洛朗多项式 $f(u_0,\ldots,u_n) = \sum u_i$ 限制在 $\prod u_i^{w_i} = 1$ 上所关联的Gauss-Manin系统和Brieskorn格，定义第二个Frobenius流形结构。
• 通过比较初始条件和平坦结构，建立两个Frobenius流形之间的对应关系。
• 应用Frobenius流形理论和Dubrovin同构定理，将量子上同调与Brieskorn格构造联系起来。
• 利用orbifold陈-外尔理论和orbifold微分形式，定义并计算orbifold范畴中的特征类和上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{P}(w_0,\ldots,w_n)$ 的orbifold量子上同调上的Frobenius流形结构是否同构于洛朗多项式 $f(u_0,\ldots,u_n) = \sum u_i$ 限制在 $\prod u_i^{w_i} = 1$ 上所导出的Frobenius流形？
• RQ2 orbifold Gromov-Witten不变量在决定量子上同调势函数及其Frobenius结构方面起什么作用？
• RQ3 $\mathbb{P}(w_0,\ldots,w_n)$ 上的orbifold Poincaré对偶性和上积结构如何与洛朗多项式的Brieskorn格和Gauss-Manin系统相关联？
• RQ4 Dubrovin同构定理能否推广至orbifold情形，以将量子上同调与Brieskorn格联系起来？
• RQ5 为建立同构关系，关于orbifold Gromov-Witten不变量取值的精确猜想形式为何？

主要发现

• 在orbifold Gromov-Witten不变量的某个猜想下，$\mathbb{P}(w_0,\ldots,w_n)$ 的orbifold量子上同调上的Frobenius流形结构同构于洛朗多项式 $f(u_0,\ldots,u_n) = \sum u_i$ 限制在 $\prod u_i^{w_i} = 1$ 上所导出的Brieskorn格的Frobenius流形结构。
• $\mathbb{P}(w_0,\ldots,w_n)$ 的orbifold量子上同调携带一个平坦且非退化的双线性形式，以及一个满足WDVV方程的交换、结合乘法。
• orbifold量子上同调的势函数由genus 0的orbifold Gromov-Witten不变量生成，这些不变量被猜想与Brieskorn格的周期一致。
• $\mathbb{P}(w_0,\ldots,w_n)$ 的orbifold上同调环同构于商叠 $[\mathbb{C}^{n+1} \setminus \{0\} / \mu_{w_0} \times \cdots \times \mu_{w_n}]$ 的上同调，支持镜像对称对应关系。
• orbifold上积和Poincaré对偶性被显式计算，表明其与Brieskorn格上的Frobenius结构相容。
• 通过Dubrovin形式化中匹配初始条件，建立了两个Frobenius流形之间的同构，其依赖于Gromov-Witten不变量的猜想取值。