[论文解读] Cohomologies of coherent sheaves and massless spectra in F-theory

Martin Bies|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Black Holes and Theoretical Physics被引用 8

一句话总结

本博士论文开发了计算工具，用于计算F理论紧化中非拉回线丛的层上同调，这对GUT模型中手征零模式的计数至关重要。通过在gap包SheafCohomologiesOnToricVarieties中实现算法，作者使在toric流形上进行上同调计算成为可能，解决了现有方法中的关键限制，并发现物质表面通量在Chow环中的关系与异常抵消相关。

ABSTRACT

In this PhD thesis we investigate the significance of Chow groups for zero mode counting and anomaly cancellation in F-theory vacua. The major part of this thesis focuses on zero mode counting. We explain that elements of Chow group describe a subset of gauge backgrounds and give rise to a line bundle on each matter curve. The sheaf cohomologies of these line bundles are found to encode the chiral and anti-chiral localised zero modes in this compactification. Therefore, it is of prime interest to compute these sheaf cohomologies. Unfortunately, the line bundles in question are in general non-pullback line bundles. In particular, this is the case for the hypercharge flux employed in F-theory models of grand unified theories (GUTs). Consequently, existing methods, such as the cohomCalg-algorithm, cannot be applied. In collaboration with the mathematician Mohamed Barakat, we have therefore implemented algorithms which determine the sheaf cohomologies of all coherent sheaves on toric varieties. These algorithms are provided by the gap-package SheafCohomologiesOnToricVarieties which extends the homalg-project of Mohamed Barakat. We exemplify these algorithms in explicit (toy-)models of F-theory GUTs. As a spin-off of this analysis, we proved that in an entire class of F-theory vacua, the matter surface fluxes satisfy a number of relations in the Chow ring, which we related to anomaly cancellation. Based on this evidence we conjecture that the well-known anomaly cancellation conditions in F-theory - typically phrased as intersections in the cohomology ring - can be extended even to relations in the Chow ring.

研究动机与目标

• 计算F理论紧化中物质曲线上的线丛的层上同调，其编码了手征和反手征零模式。
• 克服现有方法（如cohomCalg）的局限性，这些方法在非拉回线丛（F理论GUT中常见的超荷通量）情况下失效。
• 开发并实现计算toric流形上所有凝聚层上同调的一般算法。
• 探索F理论真空中物质表面通量的几何与代数结构，特别是其在Chow环中的关系。
• 研究F理论中的异常抵消条件是否可从上同调环推广至Chow环中的关系。

提出的方法

• 使用同调代数技术，开发计算toric流形上凝聚层上同调的算法。
• 在gap包SheafCohomologiesOnToricVarieties中实现这些算法，扩展了homalg_project框架。
• 使用Deligne上同调和Chow群对规范背景进行分类，并将线丛与物质曲线关联。
• 将算法应用于具有SU(5)×U(1)规范对称性的具体F理论GUT模型，包括非通用物质曲线。
• 利用环境空间上的交点理论和横截交点计算零模式计数。
• 在Chow环中分析通量，以识别与异常抵消条件相对应的代数关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 当标准方法失效时，如何计算F理论GUT模型中非拉回线丛的层上同调？
• RQ2 Chow群在分类规范背景和在物质曲线上诱导线丛的过程中起什么作用？
• RQ3 F理论真空中的物质表面通量是否在Chow环中满足与异常抵消相对应的代数关系？
• RQ4 F理论中的标准异常抵消条件（通常以上同调形式表述）能否重新表述为Chow环中的关系？
• RQ5 当通量不是从基空间拉回时，F理论中零模式计数的计算结构是什么？

主要发现

• 作者成功实现了计算toric流形上所有凝聚层上同调的算法，克服了cohomCalg在非拉回丛上的局限性。
• 由Chow群元素在物质曲线上诱导的线丛编码了手征和反手征零模式，证实了其物理相关性。
• 在一大类F理论真空中，物质表面通量在Chow环中满足与异常抵消条件直接关联的代数关系。
• 利用新算法成功分析了F理论GUT模型中非拉回的超荷通量，实现了零模式计数。
• 该研究为F理论中的异常抵消可能从上同调交点条件推广至Chow环中的代数关系提供了有力证据。
• gap包SheafCohomologiesOnToricVarieties已作为未来F理论模型构建的计算工具发布，尤其适用于非拉回通量。