[论文解读] Cohomology and deformations of dendriform algebras, and $\mathrm{Dend}_\infty$-algebras

Apurba Das|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文为带系数的 dendriform 代数建立了上同调理论，表明变形由该上同调控制，并引入了 $π_{∞}$-代数作为 dendriform 代数的同伦版本。证明了 $A_{∞}$-代数上的 Rota-Baxter 算子可诱导出 $π_{∞}$-代数结构，并通过交叉模对骨架型与严格型 $π_{∞}$-代数进行分类，统一了非结合代数中的同伦与表示论结构。

ABSTRACT

A dendriform algebra is an associative algebra whose product splits into two binary operations and the associativity splits into three new identities. These algebras arise naturally from some combinatorial objects and through Rota-Baxter operators. In this paper, we start by defining cohomology of dendriform algebras with coefficient in a representation. The deformation of a dendriform algebra $A$ is governed by the cohomology of $A$ with coefficient in itself. Next we study $\mathrm{Dend}_\infty$-algebras (dendriform algebras up to homotopy) in which the dendriform identities hold up to certain homotopy. They are certain splitting of $A_\infty$-algebras. We define Rota-Baxter operator on $A_\infty$-algebras which naturally gives rise to $\mathrm{Dend}_\infty$-algebras. Finally, we classify skeletal and strict $\mathrm{Dend}_\infty$-algebras.

研究动机与目标

• 为带表示的 dendriform 代数发展上同调理论，填补文献中的空白。
• 证明 dendriform 代数的变形由该上同调控制，将 Gerstenhaber 的变形理论推广至 dendriform 设置。
• 定义并研究 $π_{\infty}$-代数作为 dendriform 代数的同伦类比，推广 $A_{\infty}$-代数。
• 在 $A_{\infty}$-代数上定义 Rota-Baxter 算子，并证明其自然诱导出 $π_{\infty}$-代数结构。
• 通过 dendriform 代数的交叉模对骨架型与严格型 $π_{\infty}$-代数进行分类。

提出的方法

• 使用集合 $C_n = \{1, \dots, n\}$ 上的组合映射引入上链复形，定义在表示上的上同调。
• 证明 dendriform 代数自身上链复形携带非对称操作律结构，其乘法诱导上同调上的 Gerstenhaber 代数结构。
• 通过比较定理建立 dendriform 上同调与底层结合代数的 Hochschild 上同调之间的联系。
• 通过拆分结合代数的通用公式，为 dendriform 代数构造通用变形公式。
• 将 $π_{\infty}$-代数定义为在同伦意义下满足 dendriform 恒等式的分次向量空间，使用度数平移后的 $π_{\infty}[1]$-代数。
• 将 $π_{\infty}$-代数结构表示为 $sA$ 上自由双结合余代数上的平方为零、度数为 $-1$ 的余导子，建立类似 Koszul 对偶的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为带系数的 dendriform 代数定义上同调理论，以及它如何控制变形？
• RQ2 dendriform 代数的上同调与其中底层结合代数的 Hochschild 上同调之间有何关系？
• RQ3 如何在 $A_{\infty}$-代数上赋予 Rota-Baxter 算子以生成 $π_{\infty}$-代数？
• RQ4 哪些代数结构用于分类骨架型与严格型 $π_{\infty}$-代数？
• RQ5 $π_{\infty}$-代数结构如何与自由双结合余代数上的余导子相关？

主要发现

• dendriform 代数在自身上的上同调携带 Gerstenhaber 代数结构，该结构源于上链复形上的操作律与乘法。
• 第二上同调群分类了 dendriform 代数的阿贝尔扩张等价类。
• 第二上同调群的消失意味着 dendriform 代数结构的刚性。
• 若第三上同调群消失，则有限阶变形可延拓至下一阶。
• $A_{\infty}$-代数上的 Rota-Baxter 算子自然诱导出 $π_{\infty}$-代数结构，将 Aguiar 的结果推广至同伦设置。
• 骨架型与严格型 $π_{\infty}$-代数由 dendriform 代数的交叉模分类，并提供了具体构造。