[论文解读] Cohomology $C_{\infty}$-algebra and Rational Homotopy Type

Tornike Kadeishvili|ArXiv.org|Nov 11, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文在1-连通空间的有理上同调上构造了一个 $C_{\nu}$-代数结构，表明这一代数不变量完全决定了有理同伦类型。通过将 $A_{\nu}$-代数框架扩展至交换设定，作者证明了上同调 $C_{\nu}$-代数的同构当且仅当空间具有相同的有理同伦类型，从而在有理同伦理论中提供了一个完整且可计算的不变量。

ABSTRACT

In the rational cohomology of a 1-connected space a structure of $C_{\infty}$-algebra is constructed and it is shown that this object determines the rational homotopy type

研究动机与目标

• 构造一个能捕捉比上同调代数本身更多信息的完整有理同伦不变量。
• 将 $A_{\nu}$-代数框架扩展至交换设定，在有理上同调上引入 $C_{\nu}$-代数结构。
• 证明上同调 $C_{\nu}$-代数完全决定了1-连通空间的有理同伦类型。
• 为通过 $C_{\nu}$-态射实现代数映射到拓扑映射提供一个框架。
• 建立 $C_{\nu}$-代数的bar构造与环路空间的有理上同伦李余代数之间的联系。

提出的方法

• 在1-连通空间 $X$ 的有理上同调 $H^*(X,\mathbb{Q})$ 上构造 $C_{\nu}$-代数结构，推广 $A_{\nu}$-代数结构。
• 使用Sullivan的交换上链复形 $A(X)$，将 $C_{\nu}$-结构从上链复形上移到上同调。
• 通过一系列度数为 $2-i$ 的操作 $\{m_i\}$ 定义 $C_{\nu}$-代数，满足广义结合性，至高阶同伦。
• 对上同调 $C_{\nu}$-代数应用bar构造 $B(H^*, \{m_i\})$，得到一个微分graded双代数。
• 对bar构造应用 indecomposables 的函子 $Q$，得到一个与有理上同伦李余代数 $\pi^*(\Omega X, \mathbb{Q})$ 同构的微分graded李余代数。
• 利用有理上同调上 $C_{\nu}$-代数结构与Sullivan极小模型之间的等价性，将代数映射与拓扑实现性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过在有理上同调代数上添加额外代数结构，使其完全决定1-连通空间的有理同伦类型？
• RQ2 是否存在有理上同调上 $A_{\infty}$-代数结构的交换类比，能完全捕捉有理同伦类型？
• RQ3 在何种条件下，有理上同调代数的同态可由空间有理化之间的连续映射实现？
• RQ4 有理上同调上的 $C_{\infty}$-代数结构如何与环路空间的有理同伦群及李余代数结构相关联？
• RQ5 有理上同调上的 $C_{\infty}$-代数与Sullivan极小模型之间的确切关系是什么？

主要发现

• 有理上同调 $C_{\infty}$-代数结构 $H^*(X,\mathbb{Q})$ 是一个完全不变量：两个1-连通空间具有相同的有理同伦类型，当且仅当它们的有理上同调 $C_{\infty}$-代数同构。
• 上同调 $C_{\infty}$-代数的bar构造 $B(H^*, \{m_i\})$ 产生一个微分graded双代数，其 $Q$-不可约部分构成一个与有理上同伦李余代数 $\pi^*(\Omega X, \mathbb{Q})$ 同构的微分graded李余代数。
• 对于形式空间 $X = S^2 \vee S^2 \vee S^5$，$QB(H^*)$ 中的微分 $d = m_3$ 为零；而对于非形式空间 $Y = S^2 \vee S^2 \cup_f e^5$，$m_3$ 非零，导致不同的有理同伦群：$\pi^4(X) = 2\mathbb{Q}$，$\pi^4(Y) = \mathbb{Q}$。
• 同态 $G: H^*(X,\mathbb{Q}) \to H^*(Y,\mathbb{Q})$ 可由映射 $Y_{\mathbb{Q}} \to X_{\mathbb{Q}}$ 实现，当且仅当它可延拓为一个 $C_{\infty}$-态射 $\{g_i\}$，其中 $g_1 = G$。
• 对于形式空间，每个代数同态 $G$ 均可实现，因为 $\{G, 0, 0, \dots\}$ 是一个有效的 $C_{\infty}$-态射。
• 映射 $S^5 \to Y$ 无法实现的原因在于 $H^*(Y,\mathbb{Q})$ 中 $m_3$ 的非零性，违反了 $C_{\infty}$-态射条件 $G \circ m_3 = 0$。