[论文解读] Cohomology of Categorical Self-Distributivity

J. Scott Carter, Alissa S. Crans+2 more|ArXiv.org|Jul 18, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文在余交换余代数范畴中为自分配结构引入了一套统一的上同调理论，统一了典范群与李代数上同调。通过图示计算与范畴论中的内蕴化方法，证明了非平凡的典范群与李代数上同调类在维度2与3中诱导出非平凡的货架上同调类，从而表明该上同调非平凡，并为自分配运算的形变提供了障碍。

ABSTRACT

We define self-distributive structures in the categories of coalgebras and cocommutative coalgebras. We obtain examples from vector spaces whose bases are the elements of finite quandles, the direct sum of a Lie algebra with its ground field, and Hopf algebras. The self-distributive operations of these structures provide solutions of the Yang--Baxter equation, and, conversely, solutions of the Yang--Baxter equation can be used to construct self-distributive operations in certain categories. Moreover, we present a cohomology theory that encompasses both Lie algebra and quandle cohomologies, is analogous to Hochschild cohomology, and can be used to study deformations of these self-distributive structures. All of the work here is informed via diagrammatic computations.

研究动机与目标

• 在范畴自分配性的框架下，发展一种统一典范群上同调与李代数上同调的上同调理论。
• 建立余代数中自分配运算与杨-巴克斯方程解之间的联系。
• 为余交换余代数范畴中自分配结构的形变提供上同调障碍理论。
• 证明典范群与李代数上同调中的非平凡上循环在维度2与3中可提升为货架上同调的非平凡类。
• 通过内蕴化与余乘法结构，探索自分配性的图示与范畴基础。

提出的方法

• 使用范畴技术在余交换余代数范畴中内蕴化货架与rack。
• 通过余乘法与自分配映射的图示计算，为余代数中的自分配运算定义上同调理论。
• 利用余乘法与自分配运算构造显式的2-与3-上循环条件，并通过图示恒等式进行验证。
• 通过模仿Hochschild上同调的形变理论框架，在余代数背景下将上同调与Hochschild上同调关联。
• 利用在 $ N = k times rak{g} $ 上的自分配运算 $ q $，其中 $ rak{g} $ 为李代数，将李代数上循环提升至货架上同调。
• 通过证明典范群与李代数上同调中的非上边界上循环在货架上同调中仍保持非上边界，从而证明上同调的非平凡性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将余代数中的自分配运算与杨-巴克斯方程的解联系起来？
• RQ2 在余代数范畴中，李代数上同调、典范群上同调与新定义的货架上同调之间的确切关系是什么？
• RQ3 该上同调理论能否作为自分配结构形变的障碍理论？
• RQ4 是否存在由维度2与3中非平凡的李代数或典范群上循环所诱导的非平凡货架上同调类？
• RQ5 该上同调理论能否推广至高维，或推广至李2-代数与扎莫洛奇科夫四面体方程等结构？

主要发现

• 在余交换余代数范畴中，自分配结构的上同调理论是非平凡的，如定理7.4至7.9所示。
• 维度2与3中非平凡的典范群上循环诱导出相同维度中非平凡的货架上同调类。
• 非平凡的李代数上循环，如 $ H^2_{\text{Lie}}(W_p; \bbF_p) $ 中的维拉索罗上循环，可提升为 $ H^2_{\text{sh}}(N(W_p'); N(W_p')) $ 中的非平凡货架上同调类。
• 若李代数上循环 $ \theta $ 不是上边界，则其对应的货架上循环 $ \tilde{\theta} $ 也不是上边界，如定理7.9所证明。
• 该上同调理论类似于Hochschild上同调，可用于研究余代数范畴中自分配运算的形变。
• 通过图示计算构造货架上同调，验证了公理的一致性与低维中上循环条件的有效性。