[论文解读] Cohomology of convex cocompact groups and invariant distributions on limit sets

Martin Olbrich|ArXiv.org|Jul 31, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 51被引用 5

一句话总结

本文建立了凸共 compact 群的群上同调与极限集上不变分布之间的 Hodge 理论同构，证明了实双曲流形上的 Patterson 猜想。它利用 Eisenstein 系列与表示理论，将 $L^2$-上同调与超函数取值的上同调联系起来，得出精确的消去结果，并通过单位表示与重数空间 $U_\Lambda(\sigma, \varphi)$ 计算了高阶上同调群。

ABSTRACT

This paper contains a thorough investigation of invariant distributions supported on limit sets of discrete groups acting convex cocompactly on symmetric spaces of negative curvature. It can be considered as a continuation of math.DG/9810146. Based on this investigation we provide proofs of the Hodge theoretic results for the cohomology of real hyperbolic manifolds announced in math.DG/0009038, improve the bounds for the critical exponents obtained by Corlette for the quaternionic and the Cayley case, compute the L^2-cohomology for the corresponding locally symmetric spaces, prove a version of the Harder-Borel conjecture for real hyperbolic manifolds, and compute higher cohomology groups with coefficients in hyperfunctions supported on the limit set.

研究动机与目标

• 证明非紧致双曲流形上 Patterson 的 Hodge 理论猜想，将群上同调与极限集上的不变分布联系起来。
• 计算与凸共 compact 群相关的局部对称空间的 $L^2$-上同调。
• 为实双曲流形建立 Harder-Borel 猜想的一个版本。
• 确定超函数取值的高阶上同调群在极限集上的支撑结构。
• 阐明重数空间 $U_\Lambda(\sigma, \varphi)$ 在 $L^2$-上同调中的作用及其与离散系列和尖形式的关系。

提出的方法

• 使用 BGG 分解（Želobenko 复形）通过边界 $\partial X = S^{n-1}$ 上的分布截面实现上同调，形成 $G$-表示的正合复形。
• 分析参数为 $s$ 的 Eisenstein 系列 $E^p_s(\phi)$，重点关注其在 $s = p - \frac{n+1}{2}$ 处的行为，此时它们给出闭的调和形式。
• 应用 $G = \mathrm{PO}(n,1)$ 的表示理论，将 $L^2(\Gamma\backslash G, \varphi)$ 分解为不可约分量，识别出 $U_\Lambda(\sigma, \varphi)$ 为 $L^2$-上同调的本原部分。
• 依赖于泛包络代数的中心 $\mathcal{Z}(\mathfrak{g})$ 的作用，分离出具有固定无穷小特征标 $\chi_F$ 的分量，从而构造出 $C^{-\infty}(\partial X, V(F,p))$。
• 利用超函数与 $G$-不变上同调的理论，将上同调类解释为 $Y = \Gamma\backslash X$ 上闭且共闭形式的边界值，特别是通过 $\Gamma$-不变子空间 $Z^{n-p}_{F,\Lambda}$。
• 在 $\Gamma\backslash G$ 上应用调和分析，将 $L^2$-上同调与尖形式及施瓦茨空间 $^{0}\mathcal{C}(\Gamma\backslash G, \varphi)$ 联系起来，证明 $L^2(\Gamma\backslash G, \varphi)_{cusp} \oplus L^2(\Gamma\backslash G, \varphi)_U$ 是尖形式空间的闭包。

实验结果

研究问题

• RQ1 凸共 compact 群 $\Gamma$ 的群上同调 $H^p(\Gamma, F)$ 是否同构于极限集 $\Lambda$ 上的 $\Gamma$-不变分布空间 $Z^{n-p}_{F,\Lambda}$？
• RQ2 对于局部对称空间 $Y = \Gamma\backslash X$，$L^2$-上同调群 $\mathcal{H}^p_{(2)}(Y, E(\pi \otimes \varphi))$ 的结构如何？
• RQ3 重数空间 $U_\Lambda(\sigma, \varphi)$ 如何与 $L^2$-上同调的本原部分及离散系列相关联？
• RQ4 自然映射 $\mathcal{H}^p_{(2)}(Y, E(\pi \otimes \varphi)) \to H^p(Y, E(\pi \otimes \varphi))$ 在何种条件下成为同构或满射？
• RQ5 $L^2$-上同调与尖形式的语境中，空间 $L^2(\Gamma\backslash G, \varphi)_U$ 的意义是什么？

主要发现

• 本文证明了 Patterson 猜想：$H^p(\Gamma, F) \cong Z^{n-p}_{F,\Lambda}$，建立了上同调与极限集上不变分布之间的 Hodge 理论同构。
• 对于实双曲流形，当 $p \geq \frac{n+1}{2}$ 时，自然映射 $\mathcal{H}^p_{(2)}(Y, E(\pi \otimes \varphi)) \to H^p(Y, E(\pi \otimes \varphi))$ 是同构；当 $p = \frac{n}{2}$ 时为满射。
• $L^2$-上同调群 $\mathcal{H}^p_{(2)}(Y, E(\pi \otimes \varphi))$ 在 $p \notin S_X$ 且 $p \neq \frac{\dim Y}{2}$ 时消失，其中 $S_X$ 是依赖于对称空间 $X$ 的临界带。
• 对于一般 $F$，$\mathcal{H}^p_{(2)}(Y, E(\pi \otimes \varphi)) = \{0\}$，除非 $p = \frac{\dim Y}{2}$，表明对一般系数有强烈的消去性。
• $U_\Lambda(\sigma_{\lambda}, \varphi)$ 作为 $L^2$-上同调的本原部分出现，其作用类似于调和分析中离散系列的角色。
• $\Gamma\backslash G$ 上尖形式空间的闭包为 $L^2(\Gamma\backslash G, \varphi)_{cusp} \oplus L^2(\Gamma\backslash G, \varphi)_U$，其中 $L^2(\Gamma\backslash G, \varphi)_U$ 同构于相关 $\sigma$ 上 $U_\Lambda(\sigma, \varphi)$ 的直和。