[论文解读] Cohomology of diagrams of algebras

Michael Robinson|ArXiv.org|Feb 25, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文使用 Beck 的余单子方法，为代数图谱发展了一套统一的上同调理论，建立了将图谱上同调与其中基本代数上同调联系起来的谱序列。关键贡献是构建了一个局部到整体的谱序列，将指标范畴的 Baues-Wirsching 上同调与图谱的余单子上同调联系起来，该理论适用于 $ψ$-环、$Π$-代数以及群的图谱。

ABSTRACT

We consider cohomology of diagrams of algebras by Beck's approach, using comonads. We then apply this theory to computing the cohomology of $Ψ$-rings. Our main result is that there is a spectral sequence connecting the cohomology of the diagram of an algebra to the cohomology of the underlying algebra.

研究动机与目标

• 将群、李代数、结合代数以及 $ψ$-环等代数结构图谱的现有上同调理论，统一到基于余单子的单一框架下。
• 通过构建一个将图谱上同调与其中各组成部分代数上同调联系起来的局部到整体谱序列，建立图谱上同调的计算工具。
• 将该理论应用于 $ψ$-环，证明其上同调可嵌入余单子框架，并可进行谱序列分解。
• 证明所提出的上同调理论可推广并统一先前的构造，如 Cegarra 对群图谱的构造以及 Blanc-Johnson-Turner 对 $Π$-代数的构造。
• 证明当选择适当的单子时，通过余单子得到的图谱上同调与已知理论同构，从而验证该框架的有效性。

提出的方法

• 采用 Beck 的余单子方法：给定范畴 $Σετσ$ 上的单子 $T$，定义 $T$-代数范畴 $\mathfrak{Alg}(T)$，并从伴随关系 $F \dashv U$ 构造余单子 $\mathbb{G} = FU$。
• 定义图谱 $A: I \to \mathfrak{Alg}(T)$ 关于 $A$-模 $M$ 的上同调为 $H^*_{I}(A,M)$，使用余单子展开与导出函子。
• 在指标范畴 $I$ 上构造一个自然系统 $\mathcal{H}^q_{\mathbb{G}}(A,M)$，其中对每个态射 $\alpha: i \to j$，其取值为 $H^q_{\mathbb{G}}(A(i), \alpha^*M(j))$。
• 对自然系统应用 Baues-Wirsching 上同调 $H^*_{BW}(I, \mathcal{H}^q_{\mathbb{G}}(A,M))$，以构建谱序列。
• 建立谱序列：$E^{pq}_2 = H^p_{BW}(I, \mathcal{H}^q_{\mathbb{G}}(A,M)) \Rightarrow H^{p+q}_I(A,M)$，此为关键计算工具。
• 通过选择适当的单子与范畴，验证该谱序列在特例中可恢复已知结果，如群图谱（Cegarra）与 $Π$-代数（Blanc-Johnson-Turner）的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过余单子方法，建立一个统一的上同调理论，将群、李代数、结合代数以及 $ψ$-环等代数结构图谱的上同调统一起来？
• RQ2 是否存在一个谱序列，能够通过局部到整体的原则，将图谱中各代数的上同调与图谱整体的上同调联系起来？
• RQ3 $ψ$-环（即带有 $Π$-作用的交换环图谱）的上同调如何嵌入余单子框架，并可进行谱序列分解？
• RQ4 所提出的基于余单子的图谱上同调理论，在多大程度上可恢复或推广已有的群图谱与 $Π$-代数图谱的上同调理论？
• RQ5 在指标范畴 $I$ 上定义的自然系统 $\mathcal{H}^q_{\mathbb{G}}(A,M)$ 是否足以通过 Baues-Wirsching 上同调重构全局图谱上同调？

主要发现

• 构建了谱序列 $E^{pq}_2 = H^p_{BW}(I, \mathcal{H}^q_{\mathbb{G}}(A,M)) \Rightarrow H^{p+q}_I(A,M)$，为个体代数的局部上同调与图谱的整体上同调之间提供了计算桥梁。
• 对于 $ψ$-环，谱序列为 $E^{p,q}_2 = H^p_{BW}(\mathbb{N}^{\text{mult}}, H^{q}_{AQ}(A,M)) \Rightarrow H^{p+q}_{\Psi}(A,M)$，将 $ψ$-环的上同调与 Quillen-Arthur 上同调联系起来。
• 当选择适当的单子时，通过余单子得到的图谱上同调理论与已有理论同构，如群、$Π$-代数与结合代数的情形。
• 当指标范畴 $I$ 仅含两个对象与一个非恒等态射时，群图谱的谱序列退化为 Cegarra 的结果。
• 通过将 $ψ$-环建模为指标范畴 $\mathbb{N}^{\text{mult}}$ 上的交换环图谱，其中结构态射为 $ψ^n$-映射，该理论可应用于 $ψ$-环。
• 在 $I$ 上定义的自然系统 $\mathcal{H}^q_{\mathbb{G}}(A,M)$ 是良定义的，其取值为 $H^q_{\mathbb{G}}(A(i), \alpha^*M(j))$（对每个态射 $\alpha: i \to j$），并支持谱序列的构造。