[论文解读] Cohomology of GL(2,R)-valued cocycles over hyperbolic systems

Victoria Sadovskaya|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文将定义在传递Anosov微分同胚上的 Hölder 连续 $GL(2,\mathbb{R})$-值cocycle 分为两类：一类具有单个Lyapunov指数（椭圆型或抛物型），另一类保持横截的Hölder连续子丛（主导分裂）。研究证明了可测上同调蕴含Hölder连续性，并在更强假设下表明周期数据的共轭蕴含上同调，同时在这些类别之外构造了反例。

ABSTRACT

We consider Holder continuous GL(2,R)-valued cocycles over a transitive Anosov diffeomorphism. We give a complete classification up to Holder cohomology of cocycles with one Lyapunov exponent and of cocycles that preserve two transverse Holder continuous sub-bundles. We prove that a measurable cohomology between two such cocycles is Holder continuous. We also show that conjugacy of periodic data for two such cocycles does not always imply cohomology, but a slightly stronger assumption does. We describe examples that indicate that our main results do not extend to general GL(2,R)-valued cocycles.

研究动机与目标

• 将定义在传递Anosov微分同胚上的 $GL(2,\mathbb{R})$-值cocycle 按Hölder上同调关系进行分类。
• 解决此类cocycle之间可测共轭的正则性问题，特别是可测上同调是否蕴含Hölder连续性。
• 确定周期数据的共轭是否蕴含连续上同调，并识别该结论成立的条件。
• 通过构造反例探索理论的边界，涵盖两类主要cocycle之外的情形。
• 阐明Lyapunov指数与主导分裂在线性cocycle上同调分类中的作用。

提出的方法

• 通过其在紧致流形 $\mathcal{M}$ 上取值于 $GL(2,\mathbb{R})$ 的生成元 $A: \mathcal{M} \to GL(2,\mathbb{R})$ 分析cocycle，其中生成元为Hölder连续函数。
• 利用Anosov规范性性质与Birkhoff遍历定理，分析轨道上矩阵乘积的增长。
• 应用Livšic理论框架研究上同调，重点关注可测与Hölder连续的共轭。
• 通过分析周期点处 $\mathcal{A}(p,n)$ 的特征值模长，对具有单个Lyapunov指数的cocycle进行分类。
• 通过Hölder共轭将保持横截Hölder连续子丛的cocycle约化为对角形式，进而研究其性质。
• 利用非紧性与无界共轭构造显式反例，以说明假设的必要性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个 $GL(2,\mathbb{R})$-cocycle 之间的可测上同调必然为Hölder连续？
• RQ2 两个cocycle的周期数据共轭是否蕴含连续上同调？若不成立，需何种更强条件才能保证？
• RQ3 能否将 $GL(2,\mathbb{R})$-cocycle 的分类拓展至具有单个Lyapunov指数或主导分裂之外的情形？
• RQ4 在非紧情形下，即使周期数据共轭，是否存在连续上同调的内在障碍？
• RQ5 对于两类主要cocycle之外的一般 $GL(2,\mathbb{R})$-cocycle，这些结果在多大程度上不成立？

主要发现

• 若两个 $GL(2,\mathbb{R})$-cocycle 为抛物型或具有主导分裂，则其可测上同调蕴含共轭的Hölder连续性。
• 具有单个Lyapunov指数的cocycle 按Hölder上同调关系完全分类为椭圆型或抛物型。
• 保持两个横截Hölder连续子丛的cocycle 与对角型cocycle 是Hölder上同调的。
• 周期数据的共轭一般不蕴含连续上同调，但若在周期点处共轭满足更强的有界性假设，则可推出连续上同调。
• 构造了一个例子：抛物型cocycle 在周期点处共轭一致有界，但甚至不具有可测上同调性。
• 反例表明，主要结果无法推广至一般 $GL(2,\mathbb{R})$-cocycle，特别是具有非一致双曲性与无界共轭的情形。