[论文解读] Cohomology of Hom-Leibniz and $n$-ary Hom-Nambu-Lie superalgebras

El Kadri Abdaoui, Sami Mabrouk+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文为 Hom-Leibniz 和 $n$-元 Hom-Nambu-Lie 超代数发展了上同调理论，将 Takhtajan 的方法推广至扭曲和分次设置。构建了 Hom 型的 $q$-形变 Heisenberg-Virasoro 超代数，并计算其导子与第二上同调群，通过导出复形结构建立了 $n$-元 Hom-Nambu-Lie 与 Hom-Leibniz 超代数之间的上同调联系。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the cohomology of Hom-Leibniz superalgebras. We construct the $q$-deformed Heisenberg-Virasoro superalgebra of Hom-type and provide as application the computations of the derivations and second cohomology group. Moreover, we extend to graded case the Takhtajan's construction of a cohomology of $n$-ary Hom-Nambu-Lie algebras starting from cohomology of Hom-Leibniz algebras.

研究动机与目标

• 在分次设置下，为 Hom-Leibniz 超代数发展上同调理论。
• 将 Takhtajan 对 $n$-元 Hom-Nambu-Lie 上同调的构造，从 Hom-Leibniz 超代数上同调推广至更广范围。
• 计算 Hom 型 $q$-形变 Heisenberg-Virasoro 超代数的导子与第二上同调群。
• 通过上同调方法，建立 $n$-元 Hom-Nambu-Lie 超代数与 Hom-Leibniz 超代数之间的结构性联系。
• 将 $n$-元 Nambu 恒等式及其上同调框架推广至 Hom 扭曲与分次超代数设置。

提出的方法

• 通过涉及一个偶自同态 $\alpha$ 的 $\beta$-扭曲超雅可比恒等式，定义 Hom-Leibniz 超代数。
• 利用伴随映射 $ad_x(y) = [x,y]$，引入 Hom-Leibniz 超代数的表示与导子。
• 将 $q$-形变 Heisenberg-Virasoro 超代数构造为 Hom-Leibniz 超代数的一个具体例子。
• 通过作用于多重线性上链的微分 $\delta$，为 Hom-Leibniz 超代数定义上同调复形。
• 将 $n$-元 Nambu 恒等式推广至 Hom 扭曲情形，并为 $n$-元 Hom-Nambu-Lie 超代数定义上同调。
• 建立从 Hom-Leibniz 超代数上链到 $n$-元 Hom-Nambu-Lie 超代数上链的上链映射 $\Delta$，并证明 $d \circ \Delta = \Delta \circ \delta$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在分次设置下为 Hom-Leibniz 超代数定义上同调？
• RQ2 $q$-形变 Heisenberg-Virasoro 超代数的第二上同调群与导子的结构是什么？
• RQ3 $n$-元 Hom-Nambu-Lie 超代数的上同调如何与 Hom-Leibniz 超代数的上同调相关联？
• RQ4 Takhtajan 的 $n$-元上同调构造能否推广至 Hom 扭曲与分次情形？
• RQ5 上链映射 $\Delta$ 在关联 $n$-元 Hom-Nambu-Lie 与 Hom-Leibniz 超代数上同调中起什么作用？

主要发现

• 构造了 $q$-形变 Heisenberg-Virasoro 超代数的 Hom 型，作为 Hom-Leibniz 超代数的一个具体例子。
• 通过上同调框架，显式计算了 $q$-形变 Heisenberg-Virasoro 超代数的导子。
• 计算了 $q$-形变 Heisenberg-Virasoro 超代数的第二上同调群，提供了关于中心扩张的信息。
• 通过满足 $\delta^2 = 0$ 的微分 $\delta$，为 $n$-元 Hom-Nambu-Lie 超代数定义了上同调复形。
• 构造了一个上链映射 $\Delta$，使得 $d \circ \Delta = \Delta \circ \delta$，从而将 $n$-元 Hom-Nambu-Lie 与 Hom-Leibniz 超代数的上同调联系起来。
• 该上同调框架将 Takhtajan 的构造推广至分次与 Hom 扭曲设置，同时保持了 $n$-元 Nambu 恒等式结构。