[论文解读] Cohomology of Lie semidirect products and poset algebras

Vincent E. Coll, Murray Gerstenhaber|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用 13

一句话总结

本文利用Hochschild-Serre谱序列，对李半直积和李序图代数的上同调进行了分解，表明李序图代数 $ \frak{g} $ 的 $ H^*(\frak{g}, \frak{g}) $ 同构于 $ \frak{h}^* $ 上的外代数与底层序图的神经复形的单纯上同调的张量积。关键结果是无穷小形变的三部件分解，类似于复几何中的形变理论。

ABSTRACT

When $\mathfrak h$ is a toral subalgebra of a Lie algebra $\mathfrak g$ over a field $\mathbf k$, and $M$ a $\mathfrak g$-module on which $\mathfrak h$ also acts torally, the Hochschild-Serre filtration of the Chevalley-Eilenberg cochain complex admits a stronger form than for an arbitrary subalgebra. For a semidirect product $\mathfrak g = \mathfrak h \ltimes \mathfrak k$ with $\mathfrak h$ toral one has $H^*(\mathfrak g, M) \cong \bigwedge\mathfrak h^{\vee} \bigotimes H^*(\mathfrak k,M)^{\mathfrak h} = H^*(\mathfrak h, \mathbf k)\bigotimes H^*(\mathfrak k,M)^{\mathfrak h}$, and for a Lie poset algebra $\mathfrak g$, that $H^*(\mathfrak g, \mathfrak g)$, which controls the deformations of $\mathfrak g$, can be computed from the nerve of the underlying poset. The deformation theory of Lie poset algebras, analogous to that of complex analytic manifolds for which it is a small model, is illustrated by examples.

研究动机与目标

• 为李半直积 $ \frak{g} = \frak{h} \ltimes \frak{k} $（其中 $ \frak{h} $ 为环面）建立上同调框架，扩展Hochschild-Serre滤子。
• 利用底层序图的神经复形计算李序图代数的上同调 $ H^*(\frak{g}, \frak{g}) $。
• 将李序图代数的形变理论与单纯上同调及复分析形变理论相联系。
• 将无穷小形变分类为三个具有几何意义的分量：代数型、作用型与拓扑型。

提出的方法

• 对满足 $ \frak{h} $ 为环面的 $ \frak{g} = \frak{h} \ltimes \frak{k} $ 应用Hochschild-Serre谱序列，得到 $ H^*(\frak{g}, M) \cong \bigwedge \frak{h}^\vee \otimes H^*(\frak{k}, M)^\frak{h} $。
• 将李序图代数 $ \frak{g}(\cal{P}, \mathbf{k}) $ 定义为结合序图代数 $ A(\cal{P}, \mathbf{k}) $ 的迹为零子代数，其乘法由序图顺序定义。
• 构造序图 $ \cal{P} $ 的神经复形 $ \Sigma $，并添加一个 (-1)-单形形成 $ \Sigma^+ $，以保证在正度数上保持上同调等价。
• 建立同构 $ H^*(\frak{k}, \mathbf{k})_{\mathbf{0}} \cong H^*(\Sigma^+, \mathbf{k}) $，将Chevalley-Eilenberg上同调与单纯上同调相联系。
• 利用同构 $ H^*(\frak{g}, \frak{g}) \cong H^*(\frak{h}, \mathbf{k}) \otimes H^*(\Sigma^+, \mathbf{k}) $ 将 $ H^2(\frak{g}, \frak{g}) $ 分解为三部分。
• 通过在 $ \Sigma $ 上对2-上循环进行指数化构造单参数形变，特别地在特征为0时使用Artin-Hasse指数函数或 $ F_{ijk}(t) = 1 + t f_{ijk} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Hochschild-Serre滤子下，当 $ \frak{h} $ 为环面时，李半直积 $ \frak{g} = \frak{h} \ltimes \frak{k} $ 的上同调如何分解？
• RQ2 能否从其底层序图的神经复形计算李序图代数的上同调 $ H^*(\frak{g}, \frak{g}) $？
• RQ3 在 $ H^2(\frak{g}, \frak{g}) $ 的分解中，三个分量的几何与代数意义是什么？
• RQ4 李序图代数的形变与复解析流形的形变之间有何关系，特别是在无穷小结构方面？
• RQ5 在何种条件下，序图神经复形上的2-上循环可被指数化，从而生成李序图代数的正式或全局形变？

主要发现

• 当 $ \frak{h} $ 作用为环面时，李半直积 $ \frak{g} = \frak{h} \ltimes \frak{k} $ 的上同调满足 $ H^*(\frak{g}, M) \cong \bigwedge \frak{h}^\vee \otimes H^*(\frak{k}, M)^\frak{h} $，当 $ \frak{h} $ 为环面时提供了一个强有力的分解。
• 对于李序图代数 $ \frak{g} $，其上同调 $ H^*(\frak{g}, \frak{g}) $ 同构于 $ H^*(\frak{h}, \mathbf{k}) \otimes H^*(\Sigma^+, \mathbf{k}) $，其中 $ \Sigma^+ $ 是添加了 (-1)-单形的序图神经复形。
• $ H^2(\frak{g}, \frak{g}) $ 分解为三个分量：$ \bigwedge^2 \frak{h}^\vee \otimes \mathfrak{c} $，$ \frak{h}^\vee \otimes H^1(\Sigma, \mathbf{k}) $ 和 $ H^2(\Sigma, \mathbf{k}) $，分别对应于 $ \frak{h} $ 的形变、$ \frak{h} $ 作用的形变以及序图拓扑的形变。
• 当 $ \mathbf{k} $ 为 $ \mathbb{R} $ 或 $ \mathbb{C} $ 时，非平凡的2-上循环 $ f \in H^2(\Sigma, \mathbf{k}) $ 通过 $ e_{ij} \star e_{jk} = \exp(t f_{ijk}) e_{ik} $ 生成一个单参数形变族，其为结合且非平凡的。
• 在 $ \frak{g}(S^2) $ 的情形下，所有非平凡的无穷小形变均为 (0,2) 型，源于 $ H^2(S^2, \mathbf{k}) \cong \mathbf{k} $，且由于三重积为零，可通过 $ F_{ijk}(t) = 1 + t f_{ijk} $ 实现。
• 通过 $ F_{ijk}(t) = 1 + t f_{ijk} $ 对 $ \frak{g}(S^2) $ 进行形变，可得到唯一一个在等价意义下的单参数形变族，且原代数可通过该形变族的特殊化恢复。