[论文解读] Cohomology of Local Cochains

Martin Fuchssteiner|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文证明了，对于环路可缩的系数群以及由广义单位分解的余零集构成的覆盖，抽象局部上同调与连续局部上同调的上同调一致。此外，本文进一步证明了在局部可缩的拓扑群与李群中，左不变的对角邻域足以计算亚历山大-斯潘纳和奇异上同调，通过一种新颖的同伦理论方法，将范·艾斯特的结果推广至连续与光滑上同调。

ABSTRACT

We prove that for generalised partitions of unity ${ϕ_i \mid i \in I}$ and coverings $\mathfrak{U}:={ϕ_i^{-1} (R \setminus {0}) \mid i \in I}$ of a topological space $X$ the cohomology of abstract $\mathfrak{U}$-local cochains coincides with the cohomology of continuous $\mathfrak{U}$-local cochains, provided the coefficients are loop contractible. Furthermore we show that for each locally contractible group $G$ and loop contractible coefficient group $V$ the complex of germs of continuous functions on left-invariant diagonal neighbourhoods computes the Alexander-Spanier and singular cohomology; similar results are obtained for $k$-groups and for germs of smooth functions on Lie groups $G$.

研究动机与目标

• 建立抽象局部上同调与连续局部上同调一致的条件。
• 将范·艾斯特关于局部可缩拓扑群中亚历山大-斯潘纳上同调的结果推广至连续与光滑上同调。
• 证明在李群中，若系数为环路可缩，则左不变的对角邻域可计算奇异上同调与亚历山大-斯潘纳上同调。
• 在局部可缩拓扑群与李群的背景下，统一Čech、奇异与亚历山大-斯潘纳上同调理论。

提出的方法

• 利用广义单位分解定义由余零集构成的覆盖，作为局部上链复形的基础。
• 引入Čech-亚历山大-斯潘纳双复形，以关联抽象、连续与Čech上链。
• 应用同伦理论技术，特别是环路可缩性的概念，以证明上链复形的拟同构。
• 在可数覆盖上使用上极限构造，以在仿紧空间与光滑仿紧流形上恢复经典上同调理论。
• 通过左不变的对角邻域分析拓扑群与李群上的上同调。
• 依赖k-空间与kω-空间框架，以确保上极限构造中的拓扑相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，抽象局部上链复形的上同调与连续局部上链复形的上同调一致？
• RQ2 在局部可缩拓扑群中，左不变的对角邻域是否可计算亚历山大-斯潘纳上同调？
• RQ3 在具有光滑单位分解的李群上，光滑局部上链与奇异及亚历山大-斯潘纳上同调有何关系？
• RQ4 环路可缩系数在多大程度上能确保不同上同调理论之间的等价性？
• RQ5 广义单位分解在统一Čech、奇异与亚历山大-斯潘纳上同调中起什么作用？

主要发现

• 对于任意由广义单位分解的余零集构成的覆盖以及环路可缩的系数群，抽象局部上链复形的上同调与连续局部上链复形的上同调同构。
• 在局部可缩的拓扑群中，通过左不变对角邻域上的连续局部上链复形计算的上同调，与亚历山大-斯潘纳上同调及奇异上同调一致。
• 对于具有光滑单位分解及光滑环路可缩系数的李群，光滑局部上链复形计算的上同调与奇异与亚历山大-斯潘纳理论一致。
• 对所有可数覆盖取上极限，可恢复仿紧空间上的经典亚历山大-斯潘纳与连续上同调。
• 在所述条件下，Čech-亚历山大-斯潘纳双复形为抽象、连续与Čech上同调之间提供了桥梁。
• 本研究通过将范·艾斯特定理推广至拓扑群与李群上的连续与光滑上同调，实现了对该定理的推广。