[论文解读] Cohomology of moduli spaces of curves of genus three via point counts

Jonas Bergström|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文通过有限域上的点计数，计算了亏格3稳定曲线模空间的$σ$-等变上同调。通过结合非双椭圆亏格3曲线（通过平面四次曲线）的$σ$-等变计数，以及对低亏格和双椭圆子簇的已知计数，确定了$\overline{\mathcal{M}}_{3,n}$和$\mathcal{M}_{3,n}$（$n \leq 5$）的$σ$-等变伽罗华与霍奇结构，并通过局部系统欧拉特征将结果推广至$n=6,7$。

ABSTRACT

In this article we consider the moduli space of smooth $n$-pointed non-hyperelliptic curves of genus 3. In the pursuit of cohomological information about this space, we make $\mathbb{S}_n$-equivariant counts of its numbers of points defined over finite fields for $n \leq 7$. Combining this with results on the moduli spaces of smooth pointed curves of genus 0, 1 and 2, and the moduli space of smooth hyperelliptic curves of genus 3, we can determine the $\mathbb{S}_n$-equivariant Galois and Hodge structure of the ($\ell$-adic respectively Betti) cohomology of the moduli space of stable curves of genus 3 for $n \leq 5$ (to obtain $n \leq 7$ we would need counts of ``8-pointed curves of genus 2'').

研究动机与目标

• 确定亏格3稳定曲线模空间上同调的$σ$-等变伽罗华与霍奇结构。
• 对带有$n \leq 7$个标记点的非双椭圆亏格3曲线模空间，计算其在有限域上的$σ$-等变点计数。
• 利用这些计数，结合对亏格0、1、2及双椭圆亏格3曲线的已知计数，推导$\overline{\mathcal{M}}_{3,n}$的上同调不变量。
• 通过局部系统欧拉特征将结果推广至$n=6$和$n=7$，此时完整的多项式点计数尚未获得。

提出的方法

• 使用筛法计算在$\mathbb{F}_q$上通过$n$-元组点的非奇异平面四次曲线数量，逐步移除奇异曲线。
• 应用李特尔伍德迹公式及弗罗贝尼乌斯特征值的性质，将椭圆曲线上点计数与上同调数据关联。
• 利用$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$的分层结构，整合来自低亏格和双椭圆子簇的点计数。
• 利用如下事实：若在$\mathbb{F}_q$上的点计数为多项式，则通过van den Bogaart–Edixhoven与Faber–van der Geer的定理，可确定$σ$-等变伽罗华与霍奇结构。
• 通过有限域上的组合几何计算四次曲线与三次曲线线性系统维数。
• 应用引理15.3，通过迹公式与自同构群数据，递归计算$\mathcal{M}_{1,n}$（$n \leq 10$）的$σ$-等变计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于$n \leq 5$，$\overline{\mathcal{M}}_{3,n}$的上同调的$\sigma$-等变伽罗华与霍奇结构是什么？
• RQ2 能否使用有限域方法计算$n \leq 7$时非双椭圆亏格3曲线的$\sigma$-等变点计数？
• RQ3 $\mathcal{M}_{3,n}$的上同调不变量如何与$\mathcal{M}_{1,n}$、$\mathcal{M}_{2,n}$及$\mathcal{H}_{3,n}$的不变量相关？
• RQ4 平面四次曲线模空间在计算$\mathcal{M}_{3,n}$上同调中的作用是什么？
• RQ5 当完整多项式点计数不可用时，能否确定$\mathcal{M}_{3,n}$（$n=6,7$）的上同调？

主要发现

• 对于$n \leq 5$，通过多项式点计数完全确定了$\overline{\mathcal{M}}_{3,n}$和$\mathcal{M}_{3,n}$的$σ$-等变伽罗华与霍奇结构。
• 对于$n=6$和$n=7$，计算了$\mathcal{M}_3$上某些局部系统的$σ$-等变伽罗华欧拉特征，将上同调信息扩展至多项式点计数范围之外。
• 通过递归应用引理15.3，计算了$\mathcal{M}_{1,n}$（$n \leq 10$）的$σ$-等变计数，其结果与Getzler的霍奇欧拉特征结果一致。
• 通过一种筛法计算通过$n$-元组点的非奇异平面四次曲线数量，逐步移除具有一个、两个或更多奇点的曲线，并施加精确的校正项。
• 当$n=8$时，圆锥与直线对构型引发新现象，需在点计数公式中增加额外的校正项$c$与$d$。
• 该方法依赖于如下事实：若在$\mathbb{F}_q$上的点计数为$q$的多项式，则其$σ$-等变伽罗华与霍奇结构可由该多项式唯一确定。