[论文解读] Cohomology of Siegel Varieties with p-adic integral coefficients and Applications

Abdellah Mokrane, Jacques Tilouine|ArXiv.org|Dec 12, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用 13

一句话总结

该论文证明了当残数特征 p 不整除水平且大于一个自然界限时，在非Eisenstein、普通极大理想下，具有 p 进整系数的 Siegel 簇的 Betti 上同调中不存在挠。通过使用伽罗瓦表示和自守向量丛的典范扩张，作者证明了在这些条件下上同调模保持无挠，从而为 L 函数的特殊值和 Selmer 群的应用提供了可能。

ABSTRACT

Under the assumption that Galois representations associated to Siegel modular forms exist (it is known only for genus at most 2), we show that the cohomology with p-adic integral coefficients of Siegel Varieties, when localized at a non-Eisenstein maximal ideal of the Hecke algebra, is torsion-free, provided the prime p is large with the respect to the weight of the coefficient system. The proof uses p-adic Hodge theory, the dual BGG complex modulo p in order to compute the Hodge-Tate weights for the mod p cohomology. We apply this result to the construction of Hida p-adic families for symplectic groups and to the first step in the construction of a Taylor-Wiles system for these groups.

研究动机与目标

• 解决与 GSp(2g) 相关的 Siegel 簇的 Betti 上同调模在 p 进整系数下的挠存在性问题。
• 证明在特定 p 和水平条件下，此类挠不会影响 Hecke 代数的非Eisenstein、普通极大理想。
• 确立上同调模保持无挠的条件，从而支持对 L 函数特殊值和 Selmer 群的应用。
• 利用自守向量丛的典范扩张和伽罗瓦表示证明主要结果。
• 提供一个与 symplectic 群的 Taylor-Wiles 方法兼容的上同调框架，将其适用范围扩展至高亏格的 Siegel 模形式。

提出的方法

• 假设在 g ≤ 2 时，GSp(2g) 上的上同调 cuspidal 表示存在并具有局部性质的伽罗瓦表示。
• 使用自守向量丛在 Shimura 簇的藤田紧化上的典范扩张，以在 Z_p 上定义凝聚层。
• 应用 Deligne 的存在定理和 Gauss-Manin 联络，构造这些扩张层上的可积联络。
• 将自守表示与伽罗瓦表示关联，利用 GSpin_{2g+1} 作为 GSp(2g) 的 Langlands 对偶。
• 应用在 p 较小时权重下 G-表示范畴的半单性，以保证典范扩张的存在。
• 通过自守表示和 Hecke 代数作用的幂等分解来隔离上同调的有关分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有 p 进整系数的 Siegel 簇的 Betti 上同调在非Eisenstein、普通极大理想下是无挠的？
• RQ2 如何利用在藤田紧化上自守向量丛的典范扩张来控制上同调中的挠？
• RQ3 伽罗瓦表示在 Hecke 代数背景下确保上同调模无挠性方面起到何种作用？
• RQ4 上同调权重 w = |λ + ρ| 是否可用于预测 Siegel 簇上同调中挠的行为？
• RQ5 使用凝聚上同调与 Betti 上同调在研究自伴 L 函数的特殊值和 Selmer 群时有何影响？

主要发现

• 当 p 不整除水平且 p > d = g(g+1)/2 时，在非Eisenstein、普通极大理想下，具有 p 进整系数的 Siegel 簇的 Betti 上同调中不存在挠。
• 自守向量丛 V_λ^∨ 在藤田紧化上的典范扩张是 O_{X̄}-模上的凝聚、局部自由模，其在 Q_p 上的基变换恢复了有理扩张。
• Gauss-Manin 联络在扩张的自守丛上诱导出一个可积联络，确保与 Hodge 滤子的相容性。
• 在非Eisenstein、普通极大理想下，上同调模 H^d(S_U, V_λ(O)) 作为 Hecke 代数上的模保持无挠。
• 该构造依赖于伽罗瓦表示 ρ_π: Gal(Q̄/Q) → GL_V(O) 的存在性及其满足的 Frobenius 特征根条件，该条件在 g ≤ 2 时已知成立。
• 该方法使得能够建立自伴 L 函数的特殊值、同余数与自伴 Selmer 群基数之间的关系，通过 Betti 上同调实现。