[论文解读] Cohomology of split algebras and of trivial extensions

Claude Cibils, Eduardo N. Marcos+2 more|ArXiv.org|Feb 26, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文为分裂代数 $\Lambda = A \oplus M$ 的 Hochschild上同调建立了长正合列，其中 $M$ 是双边理想，$A$ 是子代数。通过双复形与杯积，显式描述了连接同态，证明了平凡扩张的首阶 Hochschild 上同调恒不为零，推广了关于单连通代数与形变理论的先前结果。

ABSTRACT

We consider associative algebras L over a field provided with a direct sum decomposition of a two-sided ideal M and a sub-algebra A - examples are provided by trivial extensions or triangular type matrix algebras. In this relative and split setting we describe a long exact sequence computing the Hochschild cohomology of L. We study the connecting homomorphism using the cup-product and we infer several results, in particular the first Hochschild cohomology group of a trivial extension never vanishes.

研究动机与目标

• 通过 $A$ 与 $M$ 的相对上同调计算分裂代数 $\Lambda = A \oplus M$ 的 Hochschild 上同调。
• 通过杯积分析长正合列中连接同态的结构。
• 证明对任意平凡扩张 $TA$，有 $H^1(TA, TA) \neq 0$，推广了关于单连通代数的结果。
• 利用一般框架恢复三角矩阵代数与一点扩张的已知计算结果。

提出的方法

• 构造一个总上同调计算 $H^*(\Lambda, \Lambda)$ 的双复形。
• 利用谱序列将 $H^*(\Lambda, \Lambda)$ 与 $\mathop{\rm Ext}^*_{A-A}(M^{\otimes_A^p}, X)$（$X = A$ 或 $M$）联系起来。
• 证明当 $M$ 在 $A$ 上是投射时，双复形第 $p$ 列的上同调同构于 $\mathop{\rm Ext}^*_{A-A}(M^{\otimes_A^p}, X)$。
• 通过与 $M$ 的恒等自同态的杯积描述连接同态 $\delta^{p,q}$，得到 $\delta^{p,q}(f) = 1_M \smile f$。
• 将该框架应用于平凡扩张 $TA = A \oplus DA$，得到 $H^1(TA, TA) \cong k \oplus H^1(A, A)$。
• 专门处理三角矩阵代数与一点扩张，通过一般序列恢复已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $A$ 与 $M$ 的相对上同调计算分裂代数 $\Lambda = A \oplus M$ 的 Hochschild 上同调？
• RQ2 长正合列中 $H^*(\Lambda, \Lambda)$ 的连接同态的精确结构是什么？
• RQ3 平凡扩张 $TA$ 的首阶 Hochschild 上同调是否恒为零？其分解形式如何？
• RQ4 该一般框架能否恢复三角矩阵代数与一点扩张的已知结果？
• RQ5 杯积结构如何影响 $H^1(TA, TA)$ 的非零性？

主要发现

• 平凡扩张 $TA$ 的首阶 Hochschild 上同调同构于 $k \oplus H^1(A, A)$，证明其恒不为零。
• 长正合列中连接同态 $\delta^{n,0}$ 的表达式为 $\delta^{n,0}(f) = 1_M \smile f$，其中 $f \in H^n(A, A)$。
• 对三角矩阵代数，连接同态满足：对 $f \in H^n(A, A)$，有 $\delta^n f = 1_M \smile f$；对 $g \in H^n(B, B)$，有 $\delta^n g = (-1)^{n+1} g \smile 1_M$。
• 双复形各列的上同调计算 $\mathop{\rm Ext}^*_{A-A}(M^{\otimes_A^p}, X)$，在投射性假设下，由此导出收敛于 $H^*(\Lambda, X)$ 的谱序列。
• 当 $M$ 是平方零理想且 $MX = XM = 0$ 时，$H^n(\Lambda, X)$ 可分解为各列上同调的直和。
• 结果 $H^1(TA, TA) \neq 0$ 确认了平凡扩张从不单连通，支持了‘$H^1$ 为零蕴含无有向环’的猜想；此非零性排除了该猜想的反例。