[论文解读] Cohomology of topological graphs and Cuntz-Pimsner algebras

Valentin Deaconu, Alexander Kumjian+1 more|ArXiv.org|Jan 22, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用 28

一句话总结

本文计算了局部紧空间上局部同胚所关联的群胚的层上同调，识别了这些群胚上的所有圆丛扭，并建立了扭的受限群胚 C*-代数与由 C*-对应构造的 Cuntz-Pimsner 代数之间的典范同构。关键结果是群胚 Γ(X,σ) 的上同调同空间 X 的层上同调同构，从而实现了 Brauer 群的显式计算，并将群胚 C*-代数与 Cuntz-Pimsner 代数联系起来。

ABSTRACT

We compute the sheaf cohomology of a groupoid built from a local homeomorphism of a locally compact space $X$. In particular, we identify the twists over this groupoid, and its Brauer group. Our calculations refine those made by Kumjian, Muhly, Renault and Williams in the case $X$ is the path space of a graph, and the local homeomorphism is the shift. We also show how the C*-algebra of a twist may be identified with the Cuntz-Pimsner algebra constructed from a certain C*-correspondence.

研究动机与目标

• 计算由局部紧、第二可数、Hausdorff 空间 X 上的局部同胚 σ 构造的 r-离散群胚 Γ(X,σ) 的层上同调。
• 利用层上同调识别 Γ(X,σ) 上的所有圆丛扭，改进关于 Brauer 群的先前结果。
• 建立扭的受限群胚 C*-代数与关联于 C*-对应的关系的 Cuntz-Pimsner 代数之间的自然同构。
• 推广并扩展已知结果，特别在 X 为图的路径空间且 σ 为移位映射的情形，尤其是 Brauer 群的消失性。

提出的方法

• 作者使用 [K3, 3.7] 中的长正合列，将群胚 Γ(X,σ) 的上同调与底空间 X 的层上同调联系起来。
• 他们定义了群胚 Γ 作用于阿贝尔群层 A 上，并证明了在 Γ 上的上循环函子的第 n 个右导出函子同构于 H^n(X,A)。
• 通过在 X 局部紧时构造 C*-对应 ℓ²(σ) 于 C₀(X) 上，将 C*(Γ) 实现为 Cuntz-Pimsner 代数。
• 群胚上的丛扭被表征为 X×𝕋 的扩张，受限群胚 C*-代数 C*(Γ;Λ) 定义为 C*(Λ) 中 T-不变部分。
• 通过构建丛所用的数据，利用上循环条件与斜积构造，建立了 C*(Γ;Λ) 与 Cuntz-Pimsner 代数之间的同构。
• 斜积构造被应用于将 X×G 上的群胚与交叉积联系起来，特别当 G=ℝ 时，将 C*-代数与 Cuntz 代数上的作用联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 群胚 Γ(X,σ) 的层上同调如何与底空间 X 的层上同调相关？
• RQ2 Γ(X,σ) 上的圆丛扭的完整分类是什么？它们与群胚上同调中的 2-上循环有何关系？
• RQ3 能否将 Γ(X,σ) 上扭的受限群胚 C*-代数识别为由 C*-对应构造的 Cuntz-Pimsner 代数？
• RQ4 在何种条件下，Γ(X,σ) 的 Brauer 群消失？这一结果如何推广图路径空间上的已知结果？
• RQ5 通过上循环 c:X→G 的斜积构造，如何将乘积空间的群胚 C*-代数与交叉积联系起来？

主要发现

• 群胚 Γ(X,σ) 以层 A 为系数的第 n 个上同调自然同构于 X 以 A 为系数的第 n 个层上同调，即 Hⁿ(Γ,A) ≅ Hⁿ(X,A)。
• 对于整数系数层 ℤ，Γ 的上同调为 H⁰(Γ,ℤ) = ℤ，H¹(Γ,ℤ) = ℤ，H²(Γ,ℤ) = ℤ/(p−q)ℤ，且当 k ≥ 3 时 Hᵏ(Γ,ℤ) = 0。
• 当 X 为无汇点图的路径空间时，Γ 的 Brauer 群消失，因为 H³(Γ,ℤ) = 0。
• 与扭 Λ 关联的受限群胚 C*-代数 C*(Γ;Λ) 与由 C*-对应 ℓ²(σ) 构造的 Cuntz-Pimsner 代数之间存在典范同构。
• 在斜积构造中，若 c:X→ℝ，则 C*(Γ(X×ℝ,τ)) 同构于交叉积 C*(Γ(X,σ) ×αℝ)，其中作用 α 由 αₜ(Sₖ) = e^{itλₖ}Sₖ 给出。
• 对于 X = {1,…,n}^ℕ 上的 Bernoulli 移位，当 x₁ = k 时 c(x) = λₖ，则 C*(Γ(X,σ)) 同构于 Cuntz 代数 𝒪ₙ，且相关的交叉积是 Kishimoto 构造的一个特例。