[论文解读] Coincidence and noncoincidence of dimensions in compact subsets of $[0,1]$

A. R. Mitchell, L. Olsen|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文构建了一个 $[0,1]$ 的紧子集，其六种分形维数——Hausdorff 维数、下修改盒维数、测度维数、下盒维数、上盒维数和 Assouad 维数——可在已知理论不等式的范围内独立取任意指定值。该构造通过四个精心设计的集合的并集实现，每个集合贡献特定的维数特性，并确保其在各自维数下具有正且有限的 Hausdorff 测度和测度测度。

ABSTRACT

We show that given any six numbers $r,s,t,u,v,w \in (0,1]$ satisfying $r \leq s \leq \min(t,u) \leq \max(t,u) \leq v \leq w$, it is possible to construct a compact subset of $[0,1]$ with Hausdorff dimension equal to $r$, lower modified box dimension equal to $s$, packing dimension equal to $t$, lower box dimension equal to $u$, upper box dimension equal to $v$ and Assouad dimension equal to $w$. Moreover, the set constructed is an $r$-Hausdorff set and a $t$-packing set.

研究动机与目标

• 证明在 $[0,1]$ 的紧子集中，所有六种标准分形维数可在已知维数不等式范围内独立实现。
• 解决是否可同时实现全部维数差异范围（尤其是涉及下修改盒维数和 Assouad 维数的差异）的问题。
• 确保构造出的集合在其各自维数下具有正且有限的 Hausdorff 测度和测度测度，从而确认其为 $r$-Hausdorff 集和 $t$-测度集。
• 将构造方法推广至高维空间，证明在 $\mathbb{R}^d$ 中结果依然成立，且可实现类似维数控制。
• 研究 Hewitt-Stromberg 测度和齐性性质的行为，表明该集合在开集上不满足一致局部维数行为。

提出的方法

• 将紧集 $X = C \cup D \cup E \cup F$ 构造为四个互不相交子集的并集，每个子集被设计用于贡献特定的维数值。
• 通过迭代函数系统（IFS）和受控缩放的递归构造，为每个分量精确赋值其维数：$C$ 控制 Hausdorff 维数和下修改盒维数，$F$ 控制测度维数和 Assouad 维数。
• 利用 Hausdorff、测度、上盒和 Assouad 维数在有限并集下的有限稳定性，并通过精心的几何排列确保下盒维数的稳定性。
• 应用已知的测度理论刻画：例如 $\underline{\dim}_{\text{MB}}X = \sup\{\alpha : \mathcal{U}^\alpha(X) = \infty\}$，通过测度验证维数控制。
• 通过将单位区间替换为单位 $d$-立方体，并相应调整压缩映射，将一维构造推广至 $\mathbb{R}^d$。
• 利用维数函数和测度性质的有限稳定性，推导出完整集合 $X$ 的整体维数和测度值。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可在 $[0,1]$ 的单个紧子集中，独立地为所有六种分形维数——Hausdorff 维数、下修改盒维数、测度维数、下盒维数、上盒维数和 Assouad 维数——在已知维数不等式范围内指定任意值？
• RQ2 是否可构造一个集合，使其在各自维数下具有正且有限的 Hausdorff 测度和测度测度，即使这些维数不相等？
• RQ3 在该类构造中，下修改盒维数和 Assouad 维数是否可独立行为，且可独立于其他维数设定？
• RQ4 该构造是否可推广至高维空间 $\mathbb{R}^d$，同时保持对全部六种维数的完全控制？
• RQ5 Hewitt-Stromberg 测度 $\mathcal{U}^\alpha$ 和 $\mathcal{V}^\alpha$ 在临界维数下是否取有限或无限值？它们与测度维数和下修改盒维数有何关系？

主要发现

• 对于任意满足 $r \leq s \leq \min(t,u) \leq \max(t,u) \leq v \leq w$ 的六组数 $r,s,t,u,v,w \in (0,1]$，存在一个紧子集 $X \subseteq [0,1]$，使得 $\dim_{\text{H}}X = r$，$\underline{\dim}_{\text{MB}}X = s$，$\dim_{\text{P}}X = t$，$\underline{\dim}_{\text{B}}X = u$，$\overline{\dim}_{\text{B}}X = v$，且 $\dim_{\text{A}}X = w$。
• 构造出的集合 $X$ 是一个 $r$-Hausdorff 集，即 $\mathcal{H}^r(X) \in (0,\infty)$，且是一个 $t$-测度集，即 $\mathcal{P}^t(X) \in (0,\infty)$，确保在各自维数下具有非平凡测度。
• 下修改盒维数 $\underline{\dim}_{\text{MB}}X = s$ 由分量 $F$ 实现，而 Assouad 维数 $\dim_{\text{A}}X = w$ 由分量 $E$ 控制，表明其与其他维数独立。
• 集合 $X$ 不是均匀齐性的：存在某些开集 $U$，使得 $\underline{\dim}_{\text{MB}}(X \cap U) \neq \underline{\dim}_{\text{B}}(X \cap U)$，因此不满足 Nilsson 和 Wingren 构造中的局部维数常数性。
• 下 Hewitt-Stromberg 测度 $\mathcal{U}^s(X)$ 仅在 $s = r$ 时为正且有限，否则 $\mathcal{U}^s(X) = 0$，表明其对 Hausdorff 维数有严格依赖。
• 上 Hewitt-Stromberg 测度 $\mathcal{V}^t(X)$ 为正且有限，确认 $X$ 是一个 $t$-上 Hewitt-Stromberg 集，且满足 $\mathcal{V}^t(X) < \infty$ 和 $\mathcal{V}^t(C) > 0$。