[论文解读] Coined Quantum Walks as Quantum Markov Chains

Renato Portugal, Etsuo Segawa|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文建立了在图 Γ 上使用广义 Grover 量子比特的翻转-翻转经典量子行走与 Szegedy 量子行走之间在 Γ 的细分图上的直接等价性，绕过了中间模型（如交错行走或线图）。关键贡献在于提出了一种构造性方法，通过在图结构中通过细分嵌入内部量子比特空间，将经典量子行走直接转换为 Szegedy 量子行走，从而实现无需拓扑迂回的直接映射。

ABSTRACT

We analyze the equivalence between discrete-time coined quantum walks and Szegedy's quantum walks. We characterize a class of flip-flop coined models with generalized Grover coin on a graph $Γ$ that can be directly converted into Szegedy's model on the subdivision graph of $Γ$ and we describe a method to convert one model into the other. This method improves previous results in literature that need to use the staggered model and the concept of line graph, which are avoided here.

研究动机与目标

• 在不依赖中间模型的前提下，建立经典量子行走与 Szegedy 量子行走之间的直接等价性。
• 消除在关联经典与 Szegedy 量子行走时对交错量子行走模型和线图构造的依赖。
• 表征一类在图 Γ 上使用广义 Grover 量子比特的翻转-翻转经典量子行走，其与在细分图 S(Γ) 上的 Szegedy 量子行走等价。
• 提供两种模型之间的构造性转换方法，保持幺正动力学与希尔伯特空间结构。

提出的方法

• 在多重图 Γ 上定义翻转-翻转经典量子行走，使用幺正算符 U = S C′，其中 S 为移动算符，C′ 为作用于顶点特定子空间的量子比特算符。
• 引入从有向弧 A(Γ) 到计算基态 |v,j⟩ 的双射 ξ，将经典行走映射到与 H^{2|E|} 同构的希尔伯特空间 H_A。
• 构造幺正映射 V_ξ，将经典行走的希尔伯特空间转换为基于弧的希尔伯特空间 H_A，从而实现移动算符的表达：V_ξ^{-1} S V_ξ |a⟩ = |ā⟩。
• 通过将行走嵌入细分图 S(Γ) 实现向 Szegedy 模型的映射，其中希尔伯特空间由 |x,y⟩ 张成，x ∈ X，y ∈ Y，且 X, Y 划分 S(Γ) 的顶点。
• 从量子比特振幅和边态构造转移矩阵 P 和 Q，确保 P′^T = Q′，并验证 Szegedy 行走所需的随机结构。
• 证明行走动力学在由 S(Γ) 的边张成的子空间上是良定义的，其余空间构成一个静默子空间，行走在此处作用为恒等算符。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，使用广义 Grover 量子比特的翻转-翻转经典量子行走可被直接映射为 Szegedy 量子行走？
• RQ2 能否在不使用交错模型或线图构造的前提下，建立经典与 Szegedy 量子行走之间的等价性？
• RQ3 当图非完全图时，Szegedy 模型的希尔伯特空间维数与原始经典模型相比如何？
• RQ4 何种结构条件可确保 Szegedy 模型中的行走动力学为幺正且良定义？

主要发现

• 在图 Γ 上使用广义 Grover 量子比特的一类翻转-翻转经典量子行走，与在细分图 S(Γ) 上的 Szegedy 量子行走等价。
• 该转换方法避免使用交错量子行走模型和线图，提供了更直接且概念更简洁的等价性。
• 当 Γ 非完全图时，等价的 Szegedy 行走的希尔伯特空间大于原始经典行走的希尔伯特空间，原因在于 S(Γ) 的二分图结构。
• 在非完全二分图上的 Szegedy 行走具有一个静默子空间，行走在此处作用为恒等算符，且该性质在映射下被保持。
• 在由 S(Γ) 的边张成的子空间中，行走动力学为幺正且等价于原始经典行走，其余空间不贡献任何演化。
• 该等价性通过幺正变换 V_ξ 建立，该变换将量子比特空间映射为基于弧的状态，从而实现将量子比特算符直接转化为 Szegedy 的转移矩阵。