[论文解读] Cointegrated Density-Valued Linear Processes

Won‐Ki Seo|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2017

Monetary Policy and Economic Impact参考文献 20被引用 3

一句话总结

该论文基于贝叶斯希尔伯特空间，提出了一种用于密度值时间序列的协整线性过程框架，解决了传统基于$L^2$方法在非负性和线性性方面的问题。该研究建立了I(1)表示理论，将函数单位根检验方法适配于吸引子空间估计，并通过收入和工资密度的实证应用，证明了在一维吸引子空间中存在协整关系。

ABSTRACT

In data rich environments we may sometimes deal with time series that are probability density-function valued, such as observations of cross-sectional income distributions over time. To apply the methods of functional time series analysis to such observations, we should first embed them in a linear space in which the essential properties of densities are preserved under addition and scalar multiplication. Bayes Hilbert spaces provide one way to achieve this embedding. In this paper we investigate the use of Bayes Hilbert spaces to model cointegrated density-valued linear processes. We develop an I(1) representation theory for cointegrated linear processes in a Bayes Hilbert space, and adapt existing statistical procedures for estimating the corresponding attractor space to a Bayes Hilbert space setting. We revisit empirical applications involving earnings and wage densities to illustrate the utility of our approach.

研究动机与目标

• 解决基于$L^2(K)$的函数时间序列模型中概率密度的非负性与线性运算之间的不相容性。
• 在贝叶斯希尔伯特空间中为密度值时间序列发展协整理论，确保在加法与数乘运算下保持密度的基本性质。
• 将格兰杰-约翰森表示定理推广至无限维贝叶斯希尔伯特空间，适用于具有密度值创新项的AR(p)过程。
• 将函数单位根检验与吸引子空间估计程序适配于贝叶斯希尔伯特空间设置。
• 通过横截面收入与工资密度时间序列的实证应用，展示该方法的有效性。

提出的方法

• 将概率密度值时间序列嵌入贝叶斯希尔伯特空间，通过中心化对数比（clr）变换表示密度，以确保运算的线性性与封闭性。
• 在贝叶斯希尔伯特空间中应用格兰杰-约翰森表示定理，刻画I(1)过程，并推导AR(p)模型中I(1)解的必要与充分条件。
• 对clr变换后的密度进行函数主成分分析（FPCA），以估计吸引子空间并识别协整关系。
• 基于Chang等人（2016）的方法，采用顺序函数单位根检验，确定吸引子空间的维数，依次检验$R=1,2,\dots,R_{\max}$。
• 将吸引子空间估计为clr变换后密度FPCA的主导特征函数张成的空间，随后通过$\operatorname{clr}^{-1}$反变换，以在原始密度空间中解释结果。
• 沿主导协整向量方向扰动平稳均值，以可视化密度空间中长期均衡关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持密度非负性与归一化性质的函数空间中，为密度值时间序列有意义地定义协整？
• RQ2 标准$L^2(K)$框架是否允许存在非平凡的协整密度过程，抑或非负性约束与积分行为不相容？
• RQ3 格兰杰-约翰森表示定理能否推广至具有密度值创新项的AR(p)过程的无限维贝叶斯希尔伯特空间？
• RQ4 哪些统计程序可可靠估计协整密度值过程吸引子空间的维数与结构？
• RQ5 如何在实证中可视化并解释密度值时间序列的长期均衡关系？

主要发现

• 横截面收入密度时间序列的吸引子空间为一维，因为$R=1$在5%显著性水平下未被拒绝，而$R=2$在1%水平下被拒绝。
• 横截面工资密度时间序列的吸引子空间同样为一维，$R=1$在5%水平下未被拒绝，$R=2$在1%水平下被拒绝。
• FPCA中clr变换后密度的主导特征函数捕捉了协整关系中的主要变异模式，其$\operatorname{clr}^{-1}$像定义了长期均衡的主要方向。
• 对于$R=1$的函数单位根检验统计量，收入为$\tau_1^T = 0.03638$，工资为$0.05174$，两者均低于临界值，支持一维吸引子空间。
• 沿主导协整向量方向扰动平稳均值，揭示了长期均衡路径，密度分布形状发生明显变化。
• 贝叶斯希尔伯特空间的使用解决了线性运算与密度非负性之间的根本不相容问题，使函数时间序列密度的协整分析成为可能。