[论文解读] Coisotropic Hofer-Zehnder capacities and non-squeezing for relative embeddings

Samuel Lisi, Antonio Rieser|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用 7

一句话总结

本文引入了共脐霍弗-泽亨容量（coisotropic Hofer-Zehnder capacities），这是一种相对于共脐子流形的新一类辛容量，通过修改经典霍弗-泽亨容量构造而成。关键贡献在于：针对受共脐子流形约束的相对辛嵌入，建立了非压缩定理；并在有限容量与横截性假设下，证明了横截于共脐子流形的能量面上存在叶状弦（leafwise chords）。

ABSTRACT

We introduce the notion of a symplectic capacity relative to a coisotropic submanifold of a symplectic manifold, and we construct two examples of such capacities through modifications of the Hofer-Zehnder capacity. As a consequence, we obtain a non-squeezing theorem for symplectic embeddings relative to coisotropic constraints and existence results for leafwise chords on energy surfaces.

研究动机与目标

• 定义并构造相对于共脐子流形的辛容量。
• 建立受共脐子流形约束的辛嵌入的非压缩定理。
• 证明在横截于共脐子流形的能量面上，存在叶状哈密顿弦。
• 通过 isotropic 叶上的等价关系，将霍弗-泽亨容量框架扩展至共脐情形。
• 提供在给定能量水平附近，几乎所有能量水平上叶状弦存在的条件。

提出的方法

• 在共脐子流形 N ⊂ (M, ω) 上定义共脐等价关系，其中 x ∼ y 当且仅当 x 与 y 位于特征叶层的同一 isotropic 叶上。
• 通过在经典霍弗-泽亨容量上应用共脐等价关系，构造两个共脐霍弗-泽亨容量的例子。
• 利用该容量，推导出保持共脐结构的相对辛嵌入 ψ: (M₀, N₀, ω₀) → (M₁, N₁, ω₁) 的非压缩结果。
• 通过构造满足 f' ≠ 0 的哈密顿函数 F = f(H)，并应用基于容量的论证，证明能量面 Sλ 上存在非平凡的叶状弦。
• 应用 Arzelà-Ascoli 定理与紧致性论证，证明在有界返回时间与紧致性假设下，极限能量水平 α 处存在弦。
• 借鉴 [19, 第四章] 的结果，证明在参数化超曲面族中，叶状弦存在于一个全测度的能量水平集合上。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一个相对于共脐子流形的辛容量，类似于霍弗-泽亨容量？
• RQ2 有限共脐容量的存在是否意味着受共脐子流形约束的相对辛嵌入存在非压缩现象？
• RQ3 在何种条件下，共脐子流形上的哈密顿系统在几乎所有能量水平上存在叶状弦？
• RQ4 当返回时间一致有界时，能否保证在极限能量水平处存在叶状弦？
• RQ5 在参数化超曲面族中，何种条件可确保叶状弦存在于一个全测度的能量水平集合上？

主要发现

• 针对嵌入至共脐子流形的相对辛嵌入，建立了非压缩定理，推广了经典非压缩结果。
• 对任意能量水平 α，若容量 c(M, N, ω, ∼) 有限，且 Sα 紧致并与 N 横截，则在有界返回时间与紧致性条件下，Sα 上存在叶状弦。
• 存在一列能量水平 λj → α，使得在每个 Sλj 上均存在叶状弦，且该性质在 α 的邻域内对所有 λ 成立。
• 若超曲面 Sϵ 为 c0-Lipschitz 型且与 N 横截，则叶状弦存在的能量水平 ϵ ∈ I 的集合具有全勒贝格测度。
• 在假设 c(M, N, ω, ∼) < ∞ 的前提下，参数化超曲面族中，叶状弦存在于一个全测度的能量水平集合上。
• 通过容量理论与紧致性论证，将经典周期轨道存在性定理推广至共脐子流形上的叶状弦情形。