[论文解读] Cokernels of adjacency matrices of random $r$-regular graphs

Hoi H. Nguyen, Melanie Matchett Wood|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2018

Graph theory and applications参考文献 24被引用 9

一句话总结

本论文利用Mészáros的混合结果与Wood的矩方法，研究了随机 $r$-正则图邻接矩阵的余核分布。结果表明，当 $r \geq 3$ 时，$r$ 个独立均匀随机 $n \times n$ 置换矩阵之和的余核在 $n \to \infty$ 时，其分布收敛于有限交换群上的极限测度，其矩由 $(r,m)$-对确定，当 $p \mid r$ 时揭示了新的分布。这表明此类矩阵的渐近非奇异。

ABSTRACT

We study the distribution of the cokernels of adjacency matrices (the Smith groups) of certain models of random $r$-regular graphs and directed graphs, using recent mixing results of Mészáros. We explain how convergence of such distributions to a limiting probability distribution implies asymptotic nonsingularity of the matrices, giving another perspective on recent results of Huang and Mészáros on asymptotic nonsingularity of adjacency matrices of random regular directed and undirected graphs, respectively. We also remark on the new distributions on finite abelian groups that arise, in particular in the $p$-group aspect when $p\mid r$.

研究动机与目标

• 理解随机 $r$-正则图及有向图邻接矩阵余核（Smith群）的极限分布。
• 将余核分布的收敛性与这些矩阵的渐近非奇异性的联系起来，为Huang关于奇异概率趋于零的结果提供一种替代证明。
• 刻画在 $p$-群情形下当 $p$ 整除 $r$ 时出现的新概率分布。
• 将Cohen-Lenstra启发式推广至具有固定行和列和的结构化随机矩阵集合。
• 分析矩对 $n_{P}$（即 $n$ 的 $P$-部分）的依赖性，表明当 $r$ 与 $|V|$ 不互素时，收敛性非一致。

提出的方法

• 利用Mészáros关于群上随机游动的最新混合结果，分析 $r$ 个独立均匀 $n \times n$ 置换矩阵之和的余核分布。
• 应用随机有限交换群的矩方法，依赖于第二作者关于此类群矩问题的工作。
• 定义并分析 $(r,m)$-对 $(V, B)$，其中 $V$ 为有限交换群，$B$ 为陪集，满足涉及 $r$-挠和差集生成的条件。
• 计算余核到有限交换群 $V$ 的满射数的极限期望，证明其等于所有 $(r,m)$-对的 $|H[r]|$ 之和。
• 利用矩阵作用的核结构，通过群论约束计数具有最小陪集结构的满射。
• 通过证明有效配置数的增长为 $|H|^{n-1}|H[r]| + o(|H|^n)$，且误差由子群有界，建立矩的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \to \infty$ 时，随机 $r$-正则有向图邻接矩阵的余核的极限分布是什么？
• RQ2 余核分布如何依赖于 $r$ 的算术性质，特别是当素数 $p$ 满足 $p \mid r$ 时？
• RQ3 余核分布的收敛性能否用于建立随机 $r$-正则邻接矩阵的渐近非奇异？
• RQ4 当 $p$ 整除 $r$ 时，在 $p$-群方面出现哪些新的有限交换群上的分布？
• RQ5 为何极限分布依赖于 $n_{P}$（即 $n$ 的 $P$-部分）而非仅 $n$ 本身？这如何影响矩的性质？

主要发现

• 当 $r \geq 3$ 时，$r$ 个独立均匀 $n \times n$ 置换矩阵之和的余核在 $n \to \infty$ 时，其分布收敛于有限交换群上的极限测度。
• 余核张量积 $\prod_{p \in P} \mathbb{Z}_p$ 同构于有限交换群 $V$（且 $|V|$ 仅由 $P$ 中的素数构成）的极限概率为 $\frac{1}{|\operatorname{Aut}(V)|} \prod_{p \in P} \prod_{k \geq 1} (1 - p^{-k})$。
• 当 $p \mid r$ 时，余核分布的 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-矩为 $2p - 1$，远大于 $r$ 与 $p$ 互素时预期的 $1$。
• 余核分布的矩依赖于 $n_{P}$，即 $n$ 中由 $P$ 中素数构成的最大因数，因此除非对 $n_{P} = m$ 有限制，否则当 $n \to \infty$ 时极限不存在。
• 当 $V = \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ 且 $r = p$ 时，$\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$-矩在 $n_{p} = 1$ 时趋近于 $p$，但在 $p \mid n$ 时趋近于 $p^2$，表明收敛性非一致。
• 余核分布的收敛性意味着邻接矩阵的渐近非奇异，为Huang关于固定 $r \geq 3$ 时 $p_n \to 0$ 的结果提供了替代证明。