[论文解读] Cole's Parametric Search Technique Made Practical

Michael T. Goodrich, Paweł Pszona|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文提出了一种实用的、基于随机化的柯勒参数搜索技术实现，采用一种新颖的排序变体——boxsort，取代了复杂的并行排序网络。通过利用加权比较和概率保证，该方法以高概率实现了柯勒的渐近速度提升——$O(n\log n + \log n · C(n))$，从而支持高效且可实现的几何优化算法。

ABSTRACT

Parametric search has been widely used in geometric algorithms. Cole's improvement provides a way of saving a logarithmic factor in the running time over what is achievable using the standard method. Unfortunately, this improvement comes at the expense of making an already complicated algorithm even more complex; hence, this technique has been mostly of theoretical interest. In this paper, we provide an algorithm engineering framework that allows for the same asymptotic complexity to be achieved probabilistically in a way that is both simple and practical (i.e., suitable for actual implementation). The main idea of our approach is to show that a variant of quicksort, known as boxsort, can be used to drive comparisons, instead of using a sorting network, like the complicated AKS network, or an EREW parallel sorting algorithm, like the fairly intricate parallel mergesort algorithm. This results in a randomized optimization algorithm with a running time matching that of using Cole's method, with high probability, while also being practical. We show how this results in practical implementations of some geometric algorithms utilizing parametric searching and provide experimental results that prove practicality of the method.

研究动机与目标

• 弥合柯勒参数搜索优化在理论效率与实际可实现性之间的长期差距。
• 克服在参数搜索模拟中使用排序网络（如AKS）或并行归并排序的复杂性。
• 通过用随机化、易于实现的排序框架替代确定性的复杂并行结构，实现参数搜索在几何算法中的实际部署。
• 在保持与柯勒方法相同渐近性能（消除对数因子）的同时，确保适用于现实世界实现。
• 证明boxsort可被用于流水线化比较，与柯勒的优化兼容，从而解决先前基于快速排序的模拟方法的关键局限性。

提出的方法

• 提出boxsort，一种基于加权比较和递归划分的随机排序算法，用于模拟并行排序网络。
• 根据比较的深度和解决顺序动态分配权重，确保优先级更高的比较（权重更高）优先解决。
• 采用加权中位数比较策略，在每一步解决最重要的活跃比较，确保每轮总活跃权重至少减少四分之一。
• 将算法结构设计为仅在前驱比较解决后才激活某一层的比较，从而实现与柯勒方法兼容的流水线化。
• 利用Motwani与Raghavan提出的boxsort概率终止保证，确保轮次数具有高概率性能界。
• 将boxsort模拟集成到参数搜索框架中，其中每个比较通过使用决策算法$\cal C$的二分查找来解决，从而保证正确性与效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 柯勒的参数搜索优化能否在不依赖复杂排序网络或并行算法的前提下实现实际应用？
• RQ2 是否可以使用更简单、随机化的排序框架（如boxsort）实现与柯勒方法相同的渐近性能？
• RQ3 柯勒方法所需的比较流水线是否可被基于比较的排序算法（如boxsort）有效支持？
• RQ4 在参数搜索中使用boxsort是否能保持理论上的速度提升，同时实现实际且高效的实现？
• RQ5 所提出方法在真实几何优化问题中的性能与现有实用的参数搜索技术相比如何？

主要发现

• 所提算法以高概率实现$O(n\log n + \log n \cdot C(n))$的时间复杂度，与柯勒方法的渐近性能完全一致。
• 该方法仅需$O(\log n)$次对决策算法$\cal C$的调用，这在对数因子范围内已达到最优。
• 该算法具有概率正确性，且以至少$1 - \exp(-\log^b n)$的概率在$O(\log n)$轮内终止（$b > 0$），基于boxsort已知的性质。
• 该方法成功实现了与先前基于快速排序的模拟不兼容的比较流水线化，克服了前期工作的关键局限。
• 实验结果（附录中）表明，该方法在性能上与van Oostrum与Veltkamp的实用参数搜索方法相当，同时具备更优的渐近保证。
• 该实现简单且实用，使柯勒的理论优势方法可被实际应用于几何算法开发。