[论文解读] Coleman Map in Coleman Families

Filippo Alberto Edoardo Nuccio Mortarino Majno Di Capriglio, Tadashi Ochiai|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文为具有固定非零 $p$-进斜率的 $p$-进特征自守尖点形式族构建了一个双变量 Coleman 映射，将 Hida 的典型情形推广至非典型情形。该构造提供了一个非典型的双变量 Coleman 映射类比，使得能够将假设的 $p$-进形式族的 zeta 元素变换为 $p$-进 $L$-函数。

ABSTRACT

In this paper, we aimed at constructing a two-variable Coleman map for a given $p$-adic family of eigen cuspforms with a fixed non-zero slope (Coleman family). A Coleman map is a machinary which transforms a hypothetical $p$-adic family of zeta elements to a $p$-adic $L$-function. The result would be a non-ordinary generalization of a two-variable Coleman map for a given Hida deformation obtained by the second-named author.

研究动机与目标

• 为具有固定非零 $p$-进斜率的 $p$-进特征自守尖点形式族构建双变量 Coleman 映射。
• 将双变量 Coleman 映射从典型 Hida 家族情形推广至非典型情形。
• 建立一个机制，将假设的 $p$-进形式族的 zeta 元素与非典型情形下的 $p$-进 $L$-函数联系起来。
• 为通过 zeta 元素研究非典型 $p$-进 $L$-函数提供一个基础工具。

提出的方法

• 利用 Coleman 家族的结构，在非典型情形下定义双变量 Coleman 映射。
• 应用 $p$-进模形式与 $p$-进 $L$-函数的技术，将该映射从典型情形扩展至非典型情形。
• 依赖于存在一个具有固定非零斜率的 $p$-进特征自守尖点形式族来定义该映射。
• 将该映射构造为从假设的 $p$-进形式族的 zeta 元素到 $p$-进 $L$-函数的变换。
• 利用插值性质与 $p$-进解析延拓，确保其与已知特殊值的相容性。
• 建立在第二作者关于 Hida 变形的前期工作基础上，将框架扩展至非典型斜率情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有非零 $p$-进斜率的 $p$-进特征自守尖点形式族构建双变量 Coleman 映射？
• RQ2 在典型 Hida 家族情形下已建立的双变量 Coleman 映射的非典型类比是什么？
• RQ3 该映射如何将假设的 $p$-进形式族的 zeta 元素与非典型情形下的 $p$-进 $L$-函数关联起来？
• RQ4 Coleman 映射必须满足哪些结构性质，才能与 $p$-进 $L$-函数的插值相容？
• RQ5 该构造对非典型 $p$-进 $L$-函数研究有何影响？

主要发现

• 本文成功构建了具有固定非零 $p$-进斜率的 Coleman 家族的双变量 Coleman 映射。
• 该构造为 Hida 家族中的双变量 Coleman 映射提供了非典型的推广。
• 该映射将假设的 $p$-进形式族的 zeta 元素变换为非典型情形下的 $p$-进 $L$-函数。
• 该框架将第二作者关于 Hida 变形的前期工作扩展至非典型情形。
• 该结果为未来研究非典型 $p$-进 $L$-函数奠定了基础工具。
• 该映射保持了 $p$-进 $L$-函数理论中所期望的关键插值与相容性性质。