[论文解读] Collapsed Manifolds With Ricci Bounded Covering Geometry

Hongzhi Huang, Lingling Kong+2 more|ArXiv.org|Aug 11, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用 9

一句话总结

该论文通过里奇流技术，在里奇曲率有下界且万有覆盖非坍塌或为雷芬贝格一致的坍塌黎曼流形上建立了幂零结构的存在性，构造了具有有界截面曲率的附近度量。关键结果是此类流形微分同胚于具有受控离散群作用的仿射幂零流形，将切赫-福卡亚-格罗莫夫理论从截面曲率有界的情形推广至里奇曲率有下界的情形。

ABSTRACT

We study collapsed manifolds with Ricci bounded covering geometry i.e., Ricci curvature is bounded below and the Riemannian universal cover is non-collapsed or consists of uniform Reifenberg points. Via Ricci flows' techniques, we partially extend the nilpotent structural results of Cheeger-Fukaya-Gromov, on collapsed manifolds with (sectional curvature) local bounded covering geometry, to manifolds with (global) Ricci boundedcovering geometry.

研究动机与目标

• 将切赫-福卡亚-格罗莫夫的幂零结构理论从截面曲率有界的流形推广至里奇曲率有下界的流形。
• 通过限制于万有覆盖非坍塌或包含一致雷芬贝格点的情形，解决里奇曲率有下界时坍塌流形的复杂性，此时截面曲率可能发散。
• 在里奇曲率有下界且万有覆盖体积非坍塌的条件下，建立最大坍塌流形的全局结构结果。
• 提出一种基于里奇流的新方法，独立于格罗莫夫的几乎平坦流形定理和先前的局部构造，以构造幂零结构。

提出的方法

• 利用里奇流将原始度量变形为具有有界截面曲率的度量，同时保持关键几何性质。
• 应用佩雷尔曼的伪局部性定理以控制曲率衰减，并确保流过程中局部非坍塌。
• 利用里奇极限空间的结构和等变格罗莫夫-豪斯多夫收敛性分析流的极限几何。
• 通过在小球上取平均构造距离函数的 $C^1$-光滑逼近，以确保流和结构构造的正则性。
• 利用里奇曲率有下界下的体积比较和注入半径估计，控制流过程中的度量畸变。
• 将格罗莫夫–切赫–福卡亚的幂零结构理论应用于结果中具有统一有界曲率的度量，以推导全局结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在截面曲率无界但里奇曲率有下界的坍塌流形上，能否构造幂零结构？
• RQ2 万有覆盖的非坍塌性或一致雷芬贝格点的存在性是否足以在里奇曲率有下界时保证幂零结构的存在？
• RQ3 里奇流能否用于构造一个具有有界截面曲率的附近度量，从而可应用现有的幂零结构理论？
• RQ4 在里奇曲率有下界和直径约束下，所得仿射幂零流形结构中离散群作用的精确控制是什么？
• RQ5 群作用界中与维数相关的常数 $C(n)$ 如何与体积和直径约束相关？

主要发现

• 对任意 $n,v>0$，存在 $\epsilon(n,v)>0$，使得若 $\operatorname{Ric}_M \geq -(n-1)$，$\operatorname{vol}(B(\tilde{p},1)) \geq v$，且 $\operatorname{diam}(M) < \epsilon(n,v)$，则 $M$ 微分同胚于一个仿射幂零流形 $N/\Gamma$。
• 离散群 $\Gamma$ 满足 $[\Gamma : \Gamma \cap N] \leq C(n)$，其中 $C(n)$ 是与维数相关的常数，确保群作用结构的统一性。
• 该结果推广了格罗莫夫关于几乎平坦流形的定理，当 $|\operatorname{sec}| \leq 1$ 时可作为特例恢复。
• 万有覆盖 $\tilde{M}$ 的非坍塌条件是本质的；若无此条件，结论不成立（例如，具有非负里奇曲率的单连通流形即为反例）。
• 证明依赖于里奇流生成具有统一有界曲率的度量，从而可应用切赫-福卡亚-格罗莫夫理论。
• 该构造避免依赖格罗莫夫的几乎平坦流形定理，为里奇曲率有下界时幂零结构的构造提供了独立的、基于流的推导。