[论文解读] Collapsing of Calabi-Yau manifolds and special lagrangian submanifolds

Yuguang Zhang|ArXiv.org|Nov 5, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文建立了特殊拉格朗日子流形的存在性与里奇平坦卡勒-雅可比流形在Gromov-Hausdorff意义下的坍塌之间的双向关系。证明了当特殊拉格朗日子流形的体积一致很小时，空间必然坍塌；反之，在卡勒-雅可比流形中足够坍塌的区域则存在特殊拉格朗日子流形的纤维化结构，为精化后的SYZ猜想提供了几何证据。

ABSTRACT

In this paper, the relationship between the existence of special lagrangian submanifolds and the collapsing of Calabi-Yau manifolds is studied. First, special lagrangian fibrations are constructed on some regions of bounded curvature and sufficiently collapsed in Ricci-flat Calabi-Yau manifolds. Then, in the opposite direction,it is shown that the existence of special lagrangian submanifolds with small volume implies the collapsing of some regions in the ambient Calabi-Yau manifolds.

研究动机与目标

• 研究特殊拉格朗日子流形与里奇平坦卡勒-雅可比流形坍塌之间的几何关系。
• 通过将特殊拉格朗日子流形纤维化的存在性与度量坍塌联系起来，为精化后的SYZ猜想提供证据。
• 建立定量的体积估计，当特殊拉格朗日子流形的体积缩小到一定程度时，可推出坍塌。
• 利用Gromov-Hausdorff收敛与里奇平坦几何，将K3曲面的结果推广至一般的卡勒-雅可比流形。

提出的方法

• 利用里奇平坦卡勒-雅可比流形序列的Gromov-Hausdorff收敛性，分析坍塌下的极限空间。
• 应用带基点的Gromov紧致性定理，提取带基点流形序列的收敛子序列。
• 运用Bishop-Gromov体积比较定理，推导出内接半径与体积增长的统一下界。
• 使用校准几何：通过∫_A Θ对特殊拉格朗日子流形的体积进行上界估计。
• 在曲率有界的流形中应用定理2.6进行体积比较，当体积过小时导出矛盾。
• 利用在紧致子集上，提升度量F_k,D^*g_k → g_∞的光滑收敛性，分析极限中的局部几何。

实验结果

研究问题

• RQ1 在卡勒-雅可比流形中，若存在体积任意小的特殊拉格朗日子流形，是否意味着度量坍塌？
• RQ2 在里奇平坦卡勒-雅可比流形中，若某区域足够坍塌，能否构造出特殊拉格朗日子流形的纤维化结构？
• RQ3 校准子流形的体积在多大程度上控制了周围空间的几何结构？
• RQ4 精化后的SYZ猜想如何通过体积与曲率约束在几何上体现？

主要发现

• 若代表固定同调类A的特殊拉格朗日子流形的体积满足∫_A Θ < δ（δ很小），则周围空间单位球的体积被限制在ε以内，从而推出坍塌。
• 当沿卡勒-雅可比流形序列有∫_A Θ_k → 0时，单位球B_g_k(p_k,1)的体积趋于零，表明Gromov-Hausdorff收敛至低维空间。
• 极限空间(Y,d_Y)的Hausdorff维数为m，但其奇点集S_Y的维数小于m−1，且正则部分为里奇平坦且光滑的。
• 当校准纤维化的纤维体积不断缩小，可推出周围流形必然坍塌，该结论通过体积比较导出矛盾而得证。
• 由于G_2与Spin(7)流形具有里奇平坦爱因斯坦结构，该结果可推广至这些流形。
• 证明在极限中建立了内接半径的统一下界，当k足够大时，该下界与校准子流形体积的缩小相矛盾。