[论文解读] Collapsing topology of isolated singularities

Lev Birbrair, Alexandre Fernandes+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文为欧氏空间中闭的可定义孤立奇点建立了拓扑厚-薄分解，证明薄区域能够捕捉比线性更快的同调坍缩。关键贡献在于建立了分离集的存在性与快速收缩同调中非单射同态之间的等价关系，将度量非锥形性与薄区域内拓扑障碍相联系。

ABSTRACT

We proof here the existence of a topological thick and thin decomposition of any closed definable thick isolated singularity germ in the spirit of the recently discovered metric thick and thin decomposition of complex normal surface singularities of [10]. Our thin zone catches exactly the homology of the family of the links collapsing faster than linearly. Simultaneously we introduce a class of rigid homeomorphisms more general than bi-Lipschitz ones, which map the topological thin zone onto the topological thin zone of its image. As a consequence of this point of view for the class of singularities we consider we exhibit an equivalent description of the notion of separating sets in terms of this fast contracting homology

研究动机与目标

• 建立类似于复法向曲面奇点中度量分解的闭可定义孤立奇点的拓扑厚-薄分解。
• 将薄区域表征为相对于半径以快于线性速度坍缩同调的点的集合。
• 通过引入保持拓扑薄区结构的刚性同胚，推广双李普希茨几何。
• 通过薄区中快速收缩同调提供分离集的拓扑表征。
• 证明分离集的存在性等价于薄区中 (d−2) 阶同调群的非单射同态。

提出的方法

• 将拓扑薄区定义为切链位于非简单切方向轨迹中的点的集合。
• 使用快速收缩圈（fc-圈）来检测随半径缩小而比线性更快坍缩的同调。
• 引入一类新的刚性同胚，其保持拓扑薄区结构，超越双李普希茨映射的范围。
• 应用Birbrair-Brasselet度量同调与Valette消失同调分析链的坍缩拓扑。
• 通过包含诱导映射在薄区的 (d−2) 阶同调与全空间之间建立同态。
• 证明该同态的非单射性蕴含分离集的存在性，通过反证法涉及切链维数与连通分支。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个闭可定义孤立奇点是否都存在一种拓扑厚-薄分解，使得薄区域捕捉比线性更快的同调坍缩？
• RQ2 是否能通过快速收缩同调中同态的非单射性来表征孤立奇点中的分离集？
• RQ3 非简单切方向的轨迹与拓扑薄区及分离集之间有何关系？
• RQ4 刚性同胚在保持薄区结构于拓扑形变下的作用是什么？
• RQ5 分离集的存在性是否等价于薄区中非平凡的快速收缩同调？

主要发现

• 拓扑薄区恰好是其切链位于非简单切方向轨迹中的点的集合。
• 在厚孤立奇点的单连通嵌入模型中，当且仅当非简单切方向的轨迹满足条件 (SC) 时，存在分离集。
• 包含诱导同态 $\theta_*: \tilde{\rm H}_{d-2}({\rm Thin}(X_1), \textbf{0}) \to \tilde{\rm H}_{d-2}(X_1, \textbf{0})$ 非单射，当且仅当存在分离集。
• 分离集的存在意味着薄区中某些 $(d-2)$-圈在非简单切方向轨迹的任意小锥形邻域内无法被收缩。
• 分离集的切链维数至多为 $\text{dim}(X_1) - 2$，若该圈可在薄区中收缩，则与全空间切链的纯性矛盾。
• 薄区捕捉了所有比线性更快坍缩的拓扑结构，其结构与阻止局部度量锥形化的同调障碍内在相关。