[论文解读] Collatz Cycles and $3n+c$ Cycles

Darrell Cox, Sourangshu Ghosh+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2021

Benford’s Law and Fraud Detection参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文利用由下取整和上取整函数导出的奇偶性向量，研究广义Collatz问题中的3n + c循环，识别循环中最小和最大奇数元素。研究表明，这些极值元素位于同一循环中，从而通过两个线性同余式建立下取整和上取整生成的奇偶性向量之间的旋转对应关系，并揭示由其中一个同余式生成的自然数呈现出类似于黎曼ζ函数非平凡零点的统计特性。

ABSTRACT

Halbeisen and Hungerbuhler determined optimal bounds for the length of rational Collatz cycles. Their methods are extended to $3n+c$ cycles. Another sequence having properties similar to those of Riemann zeta function zeros is introduced.

研究动机与目标

• 刻画奇数c不被3整除时3n + c循环的结构，扩展经典Collatz猜想的结果。
• 利用由下取整和上取整函数生成的奇偶性向量，识别3n + c循环中的最小和最大奇数元素。
• 通过两个线性同余式控制的旋转，建立下取整和上取整奇偶性向量之间的对应关系。
• 研究由其中一个同余式生成的自然数的统计分布，并与黎曼ζ函数零点的分布进行比较。
• 探讨循环本原性、子向量重复性以及约化为更简单循环（如c = -1或c = 1）之间的关系。

提出的方法

• 使用下取整函数生成循环中最大奇数元素的奇偶性向量，使用上取整函数生成最小奇数元素的奇偶性向量。
• 应用函数 ϕ(s) = ∑_{j=1}^{l} (⌈jn/l⌉ - ⌈(j-1)n/l⌉) · 2^{j-1} · 3^{n - ⌈jn/l⌉} 计算长度为l、含n个奇数元素的循环中最小奇数元素 M_{l,n}。
• 定义 N_{l,n} = 2M_{l,n} - ∑_{i=0}^{r-1} 2^i(l/r) · 3^{n-1-i(n/r)} 作为循环中最大奇数元素的上界。
• 通过旋转下取整生成的奇偶性向量以匹配上取整生成的向量，暗示 M_{l,n} 和 N_{l,n} 位于同一循环中。
• 对从 n−x 和ζ函数零点导出的序列应用Möbius函数卷积，以检验正态性与统计相似性。
• 使用最小二乘法拟合奇数l的奇偶性向量基中基元素数量与素因子计数的模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在3n + c循环中，最小和最大奇数元素是否总是属于同一循环，使得其对应的奇偶性向量可通过旋转对齐？
• RQ2 与最小奇数元素 M_{l,n} 关联的线性同余式所生成的自然数的统计行为如何？其分布与黎曼ζ函数零点的分布有何异同？
• RQ3 奇偶性向量的性质——尤其是其子向量重复性和 gcd(l,n)——如何影响3n + c循环的本原性与可约性？
• RQ4 从 n−x 或ζ零点导出的序列与Möbius函数卷积后，其差值是否呈正态分布？这反映了底层序列结构的何种特征？
• RQ5 奇偶性向量基中元素数量与素数l之间存在何种关系？这些元素中最大不同素因子数量如何随√l变化？

主要发现

• 对于 (l,n) = (6,4)，包含 M_{6,4} = 85 和 N_{6,4} = 119 的循环的奇数元素为 (85, 119)，其中 85 > 65 且 119 < 125，确认 M_{l,n} 是其循环中最小奇数，N_{l,n} 是最大奇数。
• 对于 (l,n) = (11,7)，M_{11,7} = 3767 且 N_{11,7} = 6805，其与 c = -139 的商（即 3767/139 ≈ 27，6805/139 ≈ 49）位于 c = -1 循环的最小与最大奇数元素范围内。
• 对 l = 1999 的 n−x 序列与Möbius函数卷积后，差值分布的均值为 0.5879，标准差为 2.5812，近似呈正态分布。
• 对 l = 2000 的ζ函数零点与Möbius函数卷积后，差值分布的均值为 2.7126，标准差为 1.3419，其统计行为与 n−x 序列相似。
• 对于素数 l < 10000，奇偶性向量系统中基元素数量的二次拟合 R² = 0.9997，表明具有极强的预测能力。
• 基元素中最大不同素因子数量随√l线性增长，拟合 R² = 0.9017，表明奇偶性向量系统中存在系统性的算术结构。