[论文解读] Collisions of particles in locally AdS spacetimes

Thierry Barbot, Francesco Bonsante+1 more|ArXiv.org|May 12, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文研究了包含质量粒子作为沿类时曲线的锥奇点的三维全局双曲反 de Sitter（AdS）时空。通过为每个时空关联一个描述相互作用和带有锥奇点的双曲曲面的图，作者建立了此类时空的全纯数据局部参数化，将 Mess 对光滑 GHMC AdS 流形的结果推广到具有粒子碰撞的奇异情形。

ABSTRACT

We investigate 3-dimensional globally hyperbolic AdS manifolds containing "particles", i.e., cone singularities along a graph $Γ$. We impose physically relevant conditions on the cone singularities, e.g. positivity of mass (angle less than $2π$ on time-like singular segments). We construct examples of such manifolds, describe the cone singularities that can arise and the way they can interact (the local geometry near the vertices of $Γ$). The local geometry near an "interaction point" (a vertex of the singular locus) has a simple geometric description in terms of polyhedra in the extension of hyperbolic 3-space by the de Sitter space. We then concentrate on spaces containing only (interacting) massive particles. To each such space we associate a graph and a finite family of pairs of hyperbolic surfaces with cone singularities. We show that this data is sufficient to recover the space locally (i.e., in the neighborhood of a fixed metric). This is a partial extension of a result of Mess for non-singular globally hyperbolic AdS manifolds.

研究动机与目标

• 将光滑 GHMC AdS 流形的 Mess 参数化推广至包含质量粒子作为锥奇点的时空。
• 通过涉及双曲空间和 de Sitter 空间的几何模型，对多个奇异线相交的相互作用点附近的局部几何进行分类。
• 在局部定义的带有粒子的 GHMC AdS 时空与几何数据（即描述相互作用的图和带有锥奇点的双曲曲面的配对）之间建立一一对应关系。
• 证明在小全纯数据扰动下，此类时空的局部唯一性与形变刚性。
• 通过基于左、右平坦联络的球极投影，提供带有碰撞粒子的时空的完整局部描述。

提出的方法

• 将粒子奇点建模为类时曲线上锥角小于 $2\pi$ 的锥奇点，以确保质量为正且因果一致性。
• 利用奇异点的链接，通过扩展空间 $\mathrm{HS}^3$ 中的凸多面体描述局部几何，结合双曲几何与 de Sitter 几何。
• 构建一个编码奇异线相互作用顶点的图，并为每个顶点关联一个 $\mathrm{HS}^3$ 中的凸多面体。
• 通过左、右平坦联络，将时空的全纯数据与带有锥奇点的双曲曲面的全纯数据联系起来。
• 使用具有横截向量场的类空曲面进行归纳论证，以拼接局部时空片并确保全局一致性。
• 通过嵌入定理和最大扩张的唯一性，证明局部刚性：即小全纯数据扰动可唯一提升为时空的形变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多个奇异线相交的顶点附近，如何用扩展双曲空间中的多面体结构描述局部几何？
• RQ2 在多对带有锥奇点的双曲曲面与相互作用图的组合下，GHMC AdS 时空在多大程度上可被重建？
• RQ3 锥角和因果结构需满足何种条件，才能保证存在具有粒子奇点的全局双曲、最大时空？
• RQ4 粒子碰撞如何影响全纯数据？该数据在多大程度上可唯一确定局部时空？
• RQ5 带有碰撞粒子的时空的球极投影是否可用于局部参数化所有此类时空？

主要发现

• 在质量粒子相互作用点附近的局部几何由扩展空间 $\mathrm{HS}^3$ 中的凸多面体描述，该空间结合了双曲几何与 de Sitter 几何。
• 每个带有质量粒子的 GHMC AdS 时空唯一对应一个相互作用图和一组有限对带有锥奇点的双曲曲面。
• 时空的全纯数据局部决定了其几何结构，且小全纯数据扰动可唯一提升为时空形变。
• 通过使用具有横截向量场的类空截面进行归纳拼接，建立了带有粒子的最大全局双曲扩张的存在性与唯一性。
• 球极投影提供了此类时空的完整局部描述，将 Mess 参数化推广至奇异情形。
• 局部刚性成立：对于任意小的全纯数据变形，存在唯一一个邻域内的时空实现该变形。